무실동 고3수학과외

표가 식으로 바뀌는 순간, 무엇을 먼저 읽어야 하는가

학생은 표와 식을 함께 제시한 문제에서는 사건의 관계를 곧잘 찾았지만, 자료 형식이 바뀌자 앞에서 풀었던 순서를 그대로 옮겨 적고 있었다. 무실동과외 수업에서는 정답을 빨리 얻는 것보다, 사건과 확률조건이 어떤 관계로 연결되는지부터 다시 확인했다.

표에서 읽은 관계를 식으로 옮기다

표에는 전체 학생 100명 중 사건 A를 경험한 사람이 40명, 사건 B를 경험한 사람이 30명, 두 사건을 모두 경험한 사람이 10명이라고 적혀 있었다. 학생은 먼저 표에서

P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∩B)=0.1

을 표시한 뒤, 두 사건 중 적어도 하나가 일어날 확률을 구하기 위해

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.4+0.3-0.1=0.6

이라고 연결했다. 표의 겹치는 칸을 두 번 세었으므로 한 번 빼야 한다는 뜻까지 말로 설명했다. 이 장면에서 식과 표를 나란히 둔 행동은 단순한 정리가 아니라, 사건의 합과 조건부확률을 구분하기 위한 출발점이 되었다.

앞 문제의 순서를 복사한 지점

오류는 새로운 문항에서 드러났다. “B가 일어난 사람 중 A도 일어난 비율”을 묻자 학생은 앞의 덧셈정리를 떠올려 P(A)+P(B)-P(A∩B)를 먼저 계산하려 했다. 그러나 질문은 합집합이 아니라 B라는 조건 안에서 A가 일어난 비율이었다. 최초의 잘못은 계산값이 아니라, 질문의 사건 구조를 읽지 않고 이전 풀이 순서를 복사한 행동이었다.

학생이 적은 표에는 A와 B의 교집합 정보가 있었지만, 전체 100명을 분모로 그대로 사용하려는 흔적도 보였다. 조건이 붙으면 표본공간이 B에 해당하는 사람들로 좁아진다는 점을 놓친 것이다. 실제로 위 자료라면 B가 일어난 사람은 30명이고 그중 A∩B는 10명이므로

P(A|B)=P(A∩B)÷P(B)=0.1÷0.3=1/3

이다. 사용하지 않은 전체 인원 100명은 옆 칸에 따로 표시해, 조건부확률의 계산에 직접 들어가지 않는 정보임을 구분했다.

공통으로 남는 한 관계를 기준으로 다시 배열하기

교정할 때 모든 풀이를 다시 외우게 하지는 않았다. 먼저 질문에 등장한 조건을 동그라미 치고, 그 조건에 해당하는 집단을 분모로 정하도록 했다. 그다음 사건 A와 B가 겹치는 부분을 교집합으로 적었다. 즉, “B 안에서 A”라는 문장을 A∩B를 B로 나눈다로 번역하는 한 가지 행동만 고정했다.

식 대신 나무 그림이 제시된 문제에서도 학생은 같은 관계를 찾았다. 전체에서 B로 가지가 갈라지고, 그 가지 안에서 A가 일어나는 비율이 주어졌다면 곧바로 P(A|B)로 읽었다. 반대로 “A 또는 B”라고 쓰인 질문에서는 조건을 분모로 만들지 않고 합집합의 겹침을 확인했다. 표현이 표, 식, 그림 중 무엇이든 사건의 포함 관계와 조건의 방향을 먼저 찾은 것이다.

자료의 모양을 바꾼 독립 적용

다음 문제는 표가 아니라 다음과 같은 문장으로 제시되었다.

어떤 학급에서 P(A)=0.5, P(B|A)=0.4, P(B)=0.6일 때, A가 일어나지 않고 B가 일어날 확률을 구하여라.

이번에는 앞의 숫자를 바꾼 문제가 아니었다. 조건의 방향이 A를 기준으로 주어졌고, 질문은 여사건과 B의 교집합을 요구했다. 학생은 먼저 P(A∩B)=P(A)P(B|A)=0.5×0.4=0.2를 구했다. 이어 B를 A와 겹치는 부분, A가 일어나지 않는 부분으로 나누어

P(A^c∩B)=P(B)-P(A∩B)=0.6-0.2=0.4

라고 정리했다. 조건부확률의 분모를 무조건 전체 확률로 두지 않고, 주어진 조건의 방향을 먼저 읽는 교정이 새로운 자료 형식에서도 남아 있었다.

마지막 검산에서는 전부 다시 계산하지 않고 위험한 한 줄만 확인했다. P(A∩B)=0.2를 원래 조건에 넣으면 0.2÷0.5=0.4로 P(B|A)와 일치한다. 또 P(Ac∩B)+P(A∩B)=0.4+0.2=0.6이 되어 P(B)도 복원된다. 다음 날 식·그래프·표가 다시 섞인 문제를 무힌트로 풀게 했을 때에도 학생은 결론에서 필요한 초기조건을 역으로 확인하며, 덧셈정리와 조건부확률을 같은 공식처럼 다루지 않았다.