무실동 중1수학과외

무실동 중1수학과외에서 이어진 순서쌍 풀이 기록

국책연구단지와 수루배마을6단지가 있는 무실동 생활권에서 진행한 무실동과외 수업에서는 순서쌍을 읽고 조건에 맞게 표현을 바꾸는 문제를 다뤘다. 원주대성중학교와 원주삼육중학교가 포함된 생활권에서도 자주 만나는 유형이지만, 학교나 지역보다 중요한 것은 괄호 안 두 수의 역할을 끝까지 구분하는 일이었다.

괄호 속 숫자를 읽기 전에 놓친 것

문제는 다음과 같았다.

점 A의 좌표는 (x, 3)이고, 점 A가 제1사분면에 있다. x가 될 수 있는 정수를 모두 쓰고, 그중 가장 작은 수를 순서쌍으로 나타내어라.

학생은 종이에 곧바로 “(3, x)”라고 적은 뒤, x가 1, 2, 3이라고 계산했다. 답을 쓰는 과정에서 두 숫자를 바꾸어 적은 것이 눈에 보였지만, 더 앞선 판단은 x가 들어 있는 자리를 확인하기 전에 주어진 3을 첫 번째 좌표처럼 읽은 것이었다. 순서쌍에서는 괄호 안 숫자의 위치가 바뀌면 점의 위치도 달라지므로, 계산보다 먼저 좌표의 순서를 확인해야 했다.

학생이 적은 식 옆에 세로선을 그어 첫 번째 자리는 x좌표, 두 번째 자리는 y좌표라고 표시했다. 따라서 (x, 3)에서 x좌표는 x이고 y좌표는 3임을 다시 읽었다. 제1사분면에서는 두 좌표가 모두 양수여야 하므로 x는 양수인 정수라는 조건만 남는다. 이때 문제에 따로 상한이 주어지지 않았으므로 x를 1, 2, 3으로 제한할 수 없다는 점도 확인했다. 학생은 “x는 0보다 큰 정수”라고 문장으로 고쳐 썼다.

같은 개념을 다른 모습으로 바꾸어 읽기

다음 문제에서는 식이 먼저 제시되지 않고 표로 조건이 주어졌다.

점	x좌표	y좌표
B	-2	y

“점 B가 제2사분면에 있을 때 y의 조건을 쓰고, 가능한 순서쌍의 예를 하나 제시하라”는 질문이었다. 학생은 앞 문제의 모양을 그대로 따라 하려 하지 않고, 표의 첫 번째 칸과 두 번째 칸을 각각 순서쌍의 앞자리와 뒷자리로 옮겼다. B의 좌표를 (-2, y)로 적은 뒤, 제2사분면에서는 x좌표가 음수이고 y좌표가 양수여야 한다고 판단했다. 이미 -2는 조건에 맞으므로 y는 양수인 수이다. 그래서 (-2, 1)을 예로 들었고, (-2, 0)은 축 위의 점이므로 제2사분면의 점이 될 수 없다고 덧붙였다.

이번에는 질문의 방향도 바꾸었다. “점 C의 좌표가 (-4, 5)일 때 어느 사분면에 있는가?”라는 문장에서 학생은 먼저 좌표를 표로 바꾸지 않고, 첫 번째 수 -4를 x좌표, 두 번째 수 5를 y좌표로 표시했다. x좌표는 음수이고 y좌표는 양수이므로 제2사분면이라고 설명했다. 단순히 모양을 따라 쓰는 대신, 순서쌍을 좌표의 역할에 따라 문장과 표로 서로 바꾸어 읽은 것이다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

수업 끝에 학생에게 새로운 조건을 제시했다.

점 P의 좌표는 (a, -6)이다. 점 P가 제3사분면에 있을 때 a의 부호를 정하고, a=-2인 경우 점의 위치를 설명하여라.

학생은 도움을 기다리지 않고 먼저 “(a, -6)의 앞 수는 x좌표, 뒤 수는 y좌표”라고 적었다. 제3사분면은 x좌표와 y좌표가 모두 음수인 곳인데, y좌표 -6은 이미 음수이므로 a도 음수여야 한다고 설명했다. a=-2를 넣어 (-2, -6)을 만든 뒤 두 좌표가 모두 음수인지 확인하고 제3사분면이라고 결론냈다.

마지막으로 학생은 “좌표의 순서를 바꾸면 (-6, -2)가 되어도 두 수가 모두 음수라 사분면은 같지만, 점의 좌표 자체는 달라진다. 따라서 답을 쓸 때는 문제에 주어진 앞자리와 뒷자리를 그대로 지켜야 한다”고 말했다. 원래 조건에 결과를 다시 대입해 부호를 확인하고, 순서쌍을 문장과 표로 바꾸는 과정까지 스스로 재현한 장면이었다. 이런 순서쌍 중심의 무실동중1수학과외는 답만 맞히는 것보다 첫 판단의 근거를 남기는 데 초점을 둔다.