무실동 고등수학과외
무실동 고등수학과외에서는 그래프의 모양을 눈으로 읽는 데서 멈추지 않고, 좌극한과 우극한이 실제로 같은 값에 가까워지는지 확인하는 연습을 진행합니다. 대성고등학교와 원주삼육고등학교 학생들이 자주 접하는 함수 문제도 식의 계산만으로 끝나지 않고, 그래프의 위치와 극한의 정의를 함께 연결해 풀이합니다. 무실지구와 원주혁신도시 생활권에서 수업할 때는 학생이 공책에 그린 사분면 표시를 출발점으로 삼아, 어디에서 첫 판단이 어긋났는지 되짚습니다.
사분면의 부호와 극한값을 혼동한 순간
한 학생에게 함수 f(x)=x3−16x의 x가 4로 가까워질 때를 물었습니다. 먼저 f(4)=0을 계산하고, 4의 왼쪽에서는 함수값이 음수, 오른쪽에서는 양수라고 표시하게 했습니다. 실제로 x=3.9이면 함수값은 음수이고, x=4.1이면 양수입니다.
학생은 그래프에 왼쪽 점을 제3사분면 방향, 오른쪽 점을 제1사분면 방향으로 표시한 뒤 “오른쪽은 양수로 가고 왼쪽은 음수로 가므로 우극한을 0보다 큰 값으로 먼저 정할 수 있다”고 말했습니다. 그 순간 좌극한을 계산할 근거도 사라졌습니다. 가까운 점에서의 부호를 극한값 자체로 바꿔 읽은 것이 첫 오류였습니다.
좌우에서 접근하는 값을 다시 쪼개 보기
그래프를 지우고 4에 가까운 수를 양쪽에서 따로 대입했습니다. 왼쪽에서는 x=4−h, 오른쪽에서는 x=4+h로 두고 h가 양수인 경우를 비교했습니다.
f(4−h)=(4−h)3−16(4−h)이고, h가 0에 가까워지면 이 값은 0에 가까워집니다. 오른쪽의 f(4+h)도 마찬가지로 0에 가까워집니다. 왼쪽 값이 음수이고 오른쪽 값이 양수인 현상은 두 값이 0의 서로 다른 쪽에서 접근한다는 뜻이지, 좌우극한이 서로 다르다는 뜻은 아닙니다.
부호는 접근 방향을 보여 줄 수 있지만, 좌우극한의 일치 여부는 양쪽 값이 가까워지는 최종 수를 비교해서 판단한다.
학생은 “왼쪽은 음수, 오른쪽은 양수”라는 문장을 “좌극한은 음수, 우극한은 양수”로 옮겨 적지 않고, 각각의 값이 어디로 가까워지는지 한 줄씩 기록했습니다. 다항함수이므로 x=4에서 바로 대입해도 극한값이 0임을 확인할 수 있지만, 이번에는 좌우 접근을 분리해 첫 오류를 직접 고치는 데 초점을 두었습니다.
문항 배열이 바뀌어도 좌극한 근거 세우기
다음에는 그래프가 먼저 나오지 않고 식과 물음만 제시했습니다. “x가 4보다 작은 값에서 4로 가까워질 때 f(x)의 값을 설명하라”는 형태였습니다. 학생은 이전 풀이를 보지 않고 x=3.99를 대입해 함수값이 0보다 작다는 사실을 확인한 뒤, 그것이 좌극한의 값이라고 단정하지 않았습니다.
대신 3.9, 3.99, 3.999를 차례로 비교하며 함수값이 음수인 채 0에 가까워진다고 설명했습니다. 이어 오른쪽에서도 4.1, 4.01, 4.001을 확인해 양수인 채 0에 가까워진다고 정리했습니다. 문항의 배열이 바뀌어도 사분면 위치를 먼저 결론으로 삼지 않고, 접근값의 변화를 근거로 선택한 장면입니다.
대입으로 마무리하는 독립 검증
마지막에는 좌우극한을 따로 구한 답을 원래 식에 다시 넣어 확인했습니다. 다항식 x3−16x는 x=4에서 정의되고, 직접 계산한 함수값도 0입니다. 따라서
lim x→4− f(x)=0, lim x→4+ f(x)=0
으로 두 값이 일치합니다. 그래프에서 양쪽 선분의 색이나 사분면 표시가 달라 보여도, 원식에 4를 대입한 결과와 좌우 계산이 모두 0을 가리키는지 확인하면 결론을 검증할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
- 좌우에서 부호가 다르면 극한이 존재하지 않나요?
그렇지 않습니다. 두 값이 같은 수에 가까워진다면 부호가 달라도 극한은 존재할 수 있습니다. - 다항함수의 극한은 항상 직접 대입해도 되나요?
함수가 해당 점에서 다항식으로 정의되어 있다면 직접 대입이 가능합니다. - 사분면 표시는 필요 없나요?
접근 방향과 함수값의 부호를 파악하는 데 도움이 되지만, 극한값의 일치 여부를 대신 결정하지는 않습니다. - 좌극한만 물으면 우극한도 계산해야 하나요?
좌극한 자체는 왼쪽 접근만 계산하지만, 양쪽 극한의 존재 여부를 묻는 문제라면 우극한과 비교해야 합니다.