효자동 중3수학과외
효자동 중3수학과외에서 살펴본 꼭짓점 좌표 읽기
효자동과외 수업에서 교과서의 이차함수 문제를 풀던 중, 학생이 계산은 빠르게 진행했지만 그래프에 표시한 꼭짓점이 식과 맞지 않는 일이 있었습니다. 전주우전중학교와 전주풍남중학교가 포함된 생활권, 부대앞.백운아파트와 북한산유보라아파트가 있는 생활권에서 중3수학과외를 진행할 때도 자주 확인하는 부분입니다. 이번 글에서는 y=a(x-p)²+q에서 꼭짓점 (p,q)를 읽는 방법만 다뤘습니다.
계산보다 먼저 적은 표시
문제는 다음과 같았습니다.
함수 y=2(x-4)²-3의 그래프의 꼭짓점 좌표를 구하여라.
학생은 식을 보고 먼저 공책에 다음처럼 적었습니다.
- 괄호 안의 수: 4
- 마지막 수: -3
- 꼭짓점: (4,-3)
이 문제에서는 꼭짓점의 위치를 정한 뒤 따로 복잡한 계산을 할 필요가 없습니다. 학생은 첫 줄에서 ‘괄호 안의 p와 마지막 q를 확인한다’는 기준을 세웠고, 이 부분은 정확했습니다. 따라서 a=2를 이용해 값을 계산하거나 그래프의 다른 성질을 끌어올 이유도 없었습니다.
두 번째 식에서 생긴 방향 혼동
이어진 문제는 다음과 같았습니다.
함수 y=-(x+2)²+5의 꼭짓점을 구하여라.
학생은 괄호를 보고 “x-2가 아니므로 p=-2”라고 판단한 뒤, 마지막 수 5를 q로 읽어 꼭짓점을 (-2,5)라고 썼습니다. 이 답은 맞습니다. 그런데 바로 다음 문제에서 같은 실수가 드러났습니다.
함수 y=3(x-(-6))²+1의 꼭짓점 좌표를 구하여라.
학생의 풀이 기록은 이러했습니다.
- x-(-6)을 보고 괄호 안 숫자를 6으로 읽음
- q=1은 그대로 기록함
- 꼭짓점: (6,1)
여기서 최초로 어긋난 판단은 계산 결과가 아니라 x-p의 형태에서 p의 부호를 확인하지 않고 괄호 안에 보이는 숫자만 읽은 것입니다. x-(-6)은 x+6과 같지만, 표준형에 들어 있는 p는 -6입니다. 이 판단이 먼저 틀렸기 때문에 꼭짓점의 x좌표도 6으로 잘못 정해졌습니다.
괄호를 0으로 만드는 x를 먼저 찾기
교정은 한 가지 행동만 바꾸었습니다. 식을 보자마자 숫자를 옮겨 적는 대신, 괄호 안이 0이 되는 x를 한 줄에 먼저 적도록 했습니다.
y=3(x-(-6))²+1에서 x-(-6)=0이 되려면 x=-6입니다. 따라서 괄호의 제곱 부분은 x=-6에서 0이 되고, 식에 남는 값은 q=1입니다. 그러므로 꼭짓점은 (-6,1)입니다.
이때 학생이 앞에서 맞게 처리한 q=1을 다시 계산하지 않았습니다. 바꾼 것은 x좌표를 읽는 순서뿐이었습니다. ‘괄호 안의 숫자’가 아니라 ‘괄호 안을 0으로 만드는 x’를 확인하면 x+6, x-(-6), x-4처럼 모양이 달라도 같은 기준을 적용할 수 있습니다.
표현을 바꾼 새 문제
며칠 뒤에는 식을 바로 제시하지 않고, 꼭짓점 정보가 들어간 식을 고르는 형태로 바꾸었습니다.
다음 함수 중 꼭짓점이 (3,-4)인 것을 고르시오.
① y=2(x+3)²-4 ② y=-(x-3)²+4 ③ y=4(x-3)²-4 ④ y=3(x-4)²-3
학생은 보기의 마지막 수만 먼저 비교하지 않고, 각 괄호가 0이 되는 x를 간단히 확인했습니다. ①은 x=-3, ②는 x=3이지만 마지막 값이 4, ③은 x=3이고 마지막 값이 -4, ④는 x=4입니다. 따라서 ③을 선택했습니다. 식을 새로 계산하거나 그래프를 그리지 않고도, 꼭짓점의 두 좌표를 각각 괄호와 마지막 항에서 읽어 낸 것입니다.
힌트 없이 식에 다시 대입한 확인
마지막에는 다음 문제를 아무 설명 없이 제시했습니다.
y=-2(x+5)²-7의 꼭짓점을 구하고, 선택한 좌표가 맞는지 식으로 확인하여라.
학생은 먼저 x+5=0을 적어 x=-5를 얻었습니다. 이어 마지막 항에서 y좌표를 -7로 읽어 꼭짓점을 (-5,-7)로 정했습니다. 검산에서는 x=-5를 식에 넣었습니다.
y=-2(-5+5)²-7
= -2×0²-7
= -7
따라서 x=-5일 때 y=-7이 되어 자신이 읽은 좌표와 일치한다고 설명했습니다. 효자동중3수학과외 수업의 이 장면에서 중요한 변화는 정답을 외운 것이 아니라, 새로운 식에서도 괄호 안을 0으로 만드는 x와 마지막 항의 값을 독립적으로 선택하고 대입으로 확인한 것입니다.