효자동 고2수학과외







부분합이 양수여도 항은 음수일 수 있다
효자동과외 수업에서 학생은 다음과 같이 기록했다.
“부분합 \(S_n\)이 양수이면 그 항 \(a_n\)도 양수일 것이다.”
이 판단은 부분합의 값과 항의 값을 같은 것으로 본 데서 생긴 오류다. 항은 부분합 자체가 아니라 인접한 두 부분합의 차이로 구한다.
학생 풀이 기록에서 찾은 오류
다음과 같이 부분합이 주어졌다고 하자.
\[ S_0=0,\qquad S_n=7-2n\quad(n\ge1) \]
학생은 \(S_2=3>0\)이므로 \(a_2>0\)이라고 판단했다. 그러나
\[ a_2=S_2-S_1=3-5=-2 \]
이므로 \(a_2\)는 음수다.
부분합의 변화량으로 일반항을 구하기
부분합의 정의는
\[ S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n \]
이므로, \(n\ge1\)에서
\[ S_n-S_{n-1}=a_n \]
이 성립한다. 따라서 \(S_n\)의 절댓값이 아니라 바로 앞부분합에서 얼마나 증가하거나 감소했는지를 확인해야 한다.
주어진 식에 적용하기
\[ a_1=S_1-S_0=5-0=5 \]
그리고 \(n\ge2\)이면
\[ a_n=(7-2n)-\{7-2(n-1)\}=-2 \]
따라서
\[ a_n<0\quad\Longleftrightarrow\quad n\ge2 \]
그래프처럼 변화 방향을 읽는 연습
\(S_n\)이 증가하면 \(a_n>0\), 일정하면 \(a_n=0\), 감소하면 \(a_n<0\)이다. 이 문제에서는 \(S_1=5\)에서 \(S_2=3\), \(S_3=1\), \(S_4=-1\)로 계속 감소하므로 \(a_2,a_3,a_4,\ldots\)가 모두 음수다.
최종 확인은 부분합의 부호가 아니라 인접한 부분합의 차이를 계산하는 방식으로 진행해야 한다. 이런 판단 절차를 반복해 익히는 것이 대구고3수학과외에서 다루는 수열 문제의 핵심이다.