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효자동 고2수학과외

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부분합이 양수여도 항은 음수일 수 있다

효자동과외 수업에서 학생은 다음과 같이 기록했다.

“부분합 \(S_n\)이 양수이면 그 항 \(a_n\)도 양수일 것이다.”

이 판단은 부분합의 값과 항의 값을 같은 것으로 본 데서 생긴 오류다. 항은 부분합 자체가 아니라 인접한 두 부분합의 차이로 구한다.

학생 풀이 기록에서 찾은 오류

다음과 같이 부분합이 주어졌다고 하자.

\[ S_0=0,\qquad S_n=7-2n\quad(n\ge1) \]

학생은 \(S_2=3>0\)이므로 \(a_2>0\)이라고 판단했다. 그러나

\[ a_2=S_2-S_1=3-5=-2 \]

이므로 \(a_2\)는 음수다.

부분합의 변화량으로 일반항을 구하기

부분합의 정의는

\[ S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n \]

이므로, \(n\ge1\)에서

\[ S_n-S_{n-1}=a_n \]

이 성립한다. 따라서 \(S_n\)의 절댓값이 아니라 바로 앞부분합에서 얼마나 증가하거나 감소했는지를 확인해야 한다.

주어진 식에 적용하기

\[ a_1=S_1-S_0=5-0=5 \]

그리고 \(n\ge2\)이면

\[ a_n=(7-2n)-\{7-2(n-1)\}=-2 \]

따라서

\[ a_n<0\quad\Longleftrightarrow\quad n\ge2 \]

그래프처럼 변화 방향을 읽는 연습

\(S_n\)이 증가하면 \(a_n>0\), 일정하면 \(a_n=0\), 감소하면 \(a_n<0\)이다. 이 문제에서는 \(S_1=5\)에서 \(S_2=3\), \(S_3=1\), \(S_4=-1\)로 계속 감소하므로 \(a_2,a_3,a_4,\ldots\)가 모두 음수다.

최종 확인은 부분합의 부호가 아니라 인접한 부분합의 차이를 계산하는 방식으로 진행해야 한다. 이런 판단 절차를 반복해 익히는 것이 대구고3수학과외에서 다루는 수열 문제의 핵심이다.

효자동 고2수학과외 학부모 후기

시험 결과를 가족에게 보여주던 날, 점수보다 먼저 눈에 들어온 건 문제집 뒤쪽에 적힌 짧은 메모였어요. 자주 틀리는 계산 습관만 따로 적어 두었더라고요. 예전에는 복습을 해도 어디에서 막혔는지 한곳으로 좁혀서 남기는 일이 없었거든요. 효자동 수학과외 이야기를 나누며 책을 펼쳐 본 뒤라 더 자세히 보게 됐는데, 길게 반성문처럼 써 놓은 게 아니라 다음에 다시 확인할 계산 부분만 간단히 적어 둔 모습이었어요. 시험지의 틀린 문제를 전부 옮긴 것도 아니고, 반복되는 계산 실수에만 표시가 모여 있었습니다. 새 수행평가 대본을 받아 온 날에도 비슷한 방식으로 적어 두었어요. 대본 한쪽에 같은 계산 실수를 짧게 남기고, 다음 공부에서 바로 찾아볼 수 있도록 위치까지 표시해 두었더라고요. 복습할 때 막연히 문제집을 넘기던 모습과는 달리, 어디를 이어서 볼지 흔적이 남아 있더라고요.

★★★★☆학부모 후기

학교 수행평가 준비를 다시 하던 날, 아이가 확률 문제의 경우를 작은 표로 나누더니 겹치는 경우를 하나씩 지워 나가고 있더라고요. 예예전에는 답을 고른 뒤 왜 그렇게 판단했는지 자료에 남겨 두지 않아서, 나중에 다시 보면 풀이 과정을 찾기 어려웠어요. 그날에는 표 옆에 지운 흔적이 그대로 남아 있었습니다. 친구와 공부하고 돌아온 저녁에도 비슷한 문제를 펼쳐 놓고 잠시 들여다보길래 무슨 일인가 했어요. 다음 일정을 준비하면서 가능한 경우를 직접 나눠 적고, 중복되는 항목을 찾아 빼고 있었습니다. 효자동 수학과외 이야기를 나누며 알게 된 공부 장면들 중에서도 이런 모습은 유난히 눈에 띄었어요. 문제집을 정리할 때는 이어서 볼 위치까지 정해 두었어요. 그냥 답만 확인하고 넘어가던 때와 달리, 작은 표와 지운 부분이 남아 있어 어디서부터 다시 살펴볼지도 분명해 보였습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 결과를 가족에게 보여주고 나서 아이가 먼저 함수 문제를 펼치더라고요. 제가 무슨 말을 꺼내기도 전이었는데, 그래프를 다시 그린 뒤 식과 맞는지 한참 들여다보고 있더라고요. 예전에는 복습할 때 어디서 막혔는지 스스로 좁혀 보지 못하고 문제 전체를 다시 넘기곤 했거든요. 효자동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 꽤 기억에 남았어요. 이번에는 함수의 식과 그래프를 나란히 놓고 같은 조건을 나타내는지 비교하고 있었습니다. 단순히 답만 확인하는 모습과는 달라서, 저도 옆에서 조용히 지켜보게 됐어요. 새 수행평가 대본을 받아온 날에는 함수 식과 그래프를 다시 나란히 펼쳐 놓았어요. 이어서 공부할 부분은 위치를 따로 표시해 두고, 그 자리에서 바로 멈추지 않고 다음에 볼 곳까지 남겨 두더라고요.

★★★★★학부모 후기

시험 범위를 처음 확인한 날에는 효자동 수학 과외 일정이 괜히 부담스럽게 느껴졌고, 틀린 문제를 보여 주는 것도 망설여졌습니다. 다만 선생님께서는 평일 저녁 숙제를 함께 살펴보며 대답을 재촉하지 않고 충분히 생각할 시간을 주셨습니다. 이제는 수업이 있는 날에도 긴장하기보다 모르는 부분을 편하게 말하고, 정해진 흐름에 맞춰 숙제와 복습을 이어 가고 있습니다.

★★★★★학부모 후기

효자동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 어려운 문제를 만나도 예전처럼 숙제를 미루지 않고 먼저 연습장부터 펼치는 모습이 눈에 띄었습니다. 시험 범위를 받은 날에는 아이가 궁금한 점을 직접 적어 수업 시간에 물어보기도 했고, 선생님은 집중이 흐트러지면 설명을 반복하기보다 문제를 바꿔 편하게 다시 이끌어 주셨습니다. 공부를 시작할 때의 부담이 조금 줄어든 것 같아 부모로서 좋게 느껴집니다.

★★★★☆학부모 후기

효자동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이의 숙제하는 모습이 조금씩 달라졌습니다. 컨디션이 좋지 않은 날에는 선생님이 문제 수를 줄이고 핵심만 짚어 주셔서, 답지를 덮고 혼자 다시 풀어보는 시간이 생겼어요. 모르는 부분도 이제는 설명을 다시 부탁하는 일이 자연스러워져 부모로서 반갑게 지켜보고 있습니다.

★★★★★학부모 후기