효자동 중1수학과외

효자동 중1수학과외에서 이어진 과부족방정식 풀이

효자동과외 수업에서 학생이 가져온 문제는 물건의 개수와 금액을 함께 다루는 과부족방정식이었다.

한 줄의 식에서 드러난 첫 판단

문제에는 “학생들에게 연필을 한 자루씩 나누어 주면 5자루가 남고, 두 자루씩 나누어 주면 7자루가 부족하다. 학생 수는 24명이다”라는 조건이 있었다. 학생은 연필의 수를 x라고 적은 뒤, 곧바로 x=24+5라고 계산했다. 남는 5자루만 보고 전체 연필 수를 정한 것이다.

풀이가 어긋난 최초의 지점은 계산 실수가 아니라, 무엇을 미지수로 둘지와 어느 문장이 등식이 되는지를 확인하기 전에 숫자를 더한 판단이었다. 두 자루씩 나누는 조건은 사용하지 않았고, 문제의 핵심인 ‘같은 연필 수’를 두 방식으로 표현하지도 않았다.

조건을 나란히 적어 식을 세우다

학생이 미지수를 다시 정했다. x=학생 수로 두고, 연필 수를 각각 적었다.

• 한 자루씩 나누면 연필 수는 x+5
• 두 자루씩 나누면 연필 수는 2x-7

두 표현은 같은 연필의 수를 나타내므로 x+5=2x-7이라고 표시했다. 양변에서 x를 빼면 5=x-7, 양변에 7을 더하면 x=12가 된다. 여기서 학생은 연필 수가 아니라 학생 수를 구했다는 점도 답 옆에 적었다.

앞서 맞게 읽었던 ‘5자루가 남는다’는 조건은 그대로 살리고, 누락했던 ‘두 자루씩 나누면 7자루가 부족하다’는 조건만 등식에 연결한 교정이었다.

미지수의 뜻을 먼저 정하고, 같은 양을 나타내는 두 표현을 만든 뒤 등호로 연결한다.

문장 모양이 바뀌어도 같은 관계를 찾기

다음 문제는 문장 대신 표로 제시되었다. 한 봉지에 사탕을 3개씩 넣으면 사탕이 4개 남고, 4개씩 넣으면 6개가 부족하다는 조건이었다. 학생은 표의 두 행을 보고 봉지 수를 n으로 정했다.

• 3개씩 넣는 경우: 3n+4
• 4개씩 넣는 경우: 4n-6

따라서 3n+4=4n-6이고, 정리하면 n=10이다. 이번에는 숫자만 따라 쓰지 않고 표의 각 행이 같은 사탕 수를 가리킨다는 이유를 먼저 말한 뒤 식을 작성했다. 구한 봉지 수가 10이므로 3개씩 넣을 때는 34개, 4개씩 넣을 때도 34개라고 확인했다.

분수와 소수로 바뀐 조건 재현

표현이 달라진 독립 문제에서는 전체 양을 x로 두었다. 어떤 끈의 0.5m씩 사용하면 3m가 남고, 0.8m씩 사용하면 1.2m가 부족하다는 내용이었다. 학생은 두 경우의 끈 길이를 각각 0.5x+3, 0.8x-1.2로 나타내고,

0.5x+3=0.8x-1.2

라고 세웠다. 양변에 1.2를 더하고 0.5x를 빼면 4.2=0.3x, 따라서 x=14이다. 0.5씩 14번 사용하면 7m에 3m를 더해 10m, 0.8씩 14번 사용하면 11.2m에서 1.2m를 빼 10m가 된다.

힌트 없이 원래 오류까지 되짚은 검산

마지막 확인에서 학생은 도움 없이 “먼저 구하려는 값이 학생 수인지 물건 수인지 적고, 남는 경우에는 더하고 부족한 경우에는 뺀 식을 만든다. 두 식은 같은 전체를 나타내므로 등식으로 묶는다”고 설명했다. 이어 처음 문제의 x=12를 원래 조건에 넣어 한 자루씩 나누면 12+5=17자루, 두 자루씩 나누면 24-7=17자루라고 대조했다.

처음의 x=24+5는 한 조건만 사용해 학생 수와 연필 수를 혼동한 식이었다. 학생은 이 차이를 직접 지적하고, 새로운 문장·표·소수 조건에서도 미지수의 의미와 두 등식 조건을 먼저 세운 뒤 계산을 재현했다.