전주태평동 고3수학과외
원순열을 식에서 표로 옮길 때 바뀐 것은 무엇인가
전주태평동 생활권에서 전주고등학교와 상산고등학교 주변 학습 자료를 함께 살피던 학생은 원순열 문제의 답을 계산하는 능력보다, 조건이 식·표·그림으로 바뀔 때 같은 정보를 이어 붙이는 판단에서 막혔다. 전주태평동고3수학과외 수업에서 확인한 문제는 다음과 같았다.
6명이 원탁에 앉을 때 A와 B가 이웃하지 않도록 앉히는 경우의 수를 구하는 문제였다. 학생은 먼저 전체 경우를 \( (6-1)! \)로 적고, A와 B를 한 묶음으로 보아 제외 경우를 \(2(5-1)!\)로 계산했다. 여기까지는 맞았지만, 서술형 풀이를 표로 바꾸는 과정에서 첫 줄의 ‘A와 B를 붙여 앉히는 경우’를 그대로 복사하지 않고, 이미 회전 중복을 제거한 배치를 다시 세었다.
오류가 시작된 줄을 찾다
답만 보고 틀린 계산을 고치게 하지 않고, 식과 배치표를 나란히 놓았다.
| 표현 | 의미 |
|---|---|
| \((6-1)!\) | 회전해서 같은 배치를 하나로 본 전체 원순열 |
| \(2(5-1)!\) | A·B를 하나의 블록으로 만든 뒤 블록 내부 순서 2가지를 반영한 인접 배치 |
| \((6-1)!-2(5-1)!\) | 인접하지 않는 배치 |
학생의 풀이 흔적에서 처음 어긋난 지점은 ‘블록을 만든 뒤에도 원탁의 회전 기준을 새로 잡아야 한다’는 관계를 놓친 줄이었다. 그림에서는 A와 B가 붙은 블록을 하나의 대상처럼 세었지만, 식에서는 직선 배열의 \(5!\)를 사용했다. 표현만 달라졌을 뿐 같은 대상을 세어야 한다는 연결이 끊긴 것이다.
수치를 직접 대입해 확인하면 전체는 \(5!=120\), 인접 배치는 \(2\cdot4!=48\)이므로 답은 \(120-48=72\)이다. 학생은 정답 숫자보다 ‘전체 원순열’과 ‘제외할 조건부 원순열’을 각각 한 행에 적고, 각 행의 대상 수와 회전 처리 방식을 표시했다. 이 표를 만든 뒤에는 앞 풀이를 통째로 복사하지 않고, 같은 관계가 남아 있는지부터 확인했다.
블록과 회전 기준을 한 줄로 묶기
교정은 두 가지 기록으로 제한했다. 첫째, 조건을 적용한 뒤 남은 대상을 먼저 세었다. A와 B를 블록으로 묶으면 대상은 A-B 블록, 나머지 네 명으로 총 5개다. 둘째, 원탁에서는 이 5개를 \((5-1)!\)로 배열하고, 블록 내부 순서가 AB·BA 두 가지임을 별도로 적었다. 따라서 제외 경우가 \(2(5-1)!\)이라는 근거가 식 옆에 남는다.
이 방법은 원순열 선택조건을 경우수로 바꾸는 과정에서 특히 유용했다. 선택된 배치를 세는 것과 선택되지 않은 배치를 빼는 것은 질문의 방향이 다르므로, 학생은 표의 마지막 열에 ‘포함’ 또는 ‘제외’를 표시했다. 전주태평동과외에서 이 표시를 확인한 뒤, 학생은 계산 결과가 같아도 세는 대상이 달라지면 풀이가 성립하지 않는다는 점을 구별하기 시작했다.
숫자를 지우고 조건만 남긴 변형
다음 문제에서는 사람 수를 숫자로 주지 않고, \(n\)명이 원탁에 앉을 때 특정 두 사람이 이웃하지 않는 경우를 구하도록 바꾸었다. 단순히 6을 \(n\)으로 치환하지 못하게 하려고, 보기에는 ‘두 사람이 이웃하는 경우’, ‘이웃하지 않는 경우’, ‘한 사람이 특정 자리에 고정된 경우’를 섞었다.
학생은 먼저 전체를 \((n-1)!\)로 놓고, 두 사람을 블록으로 묶은 제외 경우를 \(2(n-2)!\)로 적었다. 따라서 이웃하지 않는 경우는
\((n-1)!-2(n-2)!\)
이다. 여기서 \(n=6\)을 다시 넣어 답을 맞추는 데 그치지 않고, 왜 블록을 만들면 대상 수가 \(n-1\)개가 되는지, 왜 내부 순서가 2가지인지 문장으로 설명했다. 새로운 조건이 ‘A와 B가 이웃하지 않도록’이 아니라 ‘A와 B 중 한 명이 특정 사람의 왼쪽에 오도록’ 바뀐 문제에서는 블록을 쓰지 않고, 원탁의 한 자리를 고정한 뒤 남은 자리를 배열해야 한다고 판단했다. 조건의 위치가 달라지면 같은 공식부터 복사하지 않은 것이다.
마지막 확인으로 표 대신 원탁 그림과 식만 제시했다. 학생은 먼저 회전 중복을 제거할 대상을 찾고, 그다음 조건을 만족하지 않는 배치를 블록으로 묶을 수 있는지 살폈다. 후보를 제외할 때도 ‘두 사람을 붙인 이유’와 ‘내부 순서 2를 곱한 이유’를 각각 말한 뒤 계산했다. 식·그림·서술의 형식이 다시 바뀌었지만, 공통 관계를 찾아 경우를 나누는 판단은 그대로 유지되었다. 전주태평동고3수학과외에서 확인한 변화는 정답 암기가 아니라, 표현이 달라져도 같은 배치를 세고 있는지 역으로 복원하는 습관이었다.