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전주태평동 고2수학과외

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항의 부호가 바뀌는 순간, 부분합의 방향도 바뀐다

등차수열의 항이 증가한다고 해서 부분합까지 계속 증가하는 것은 아니다. 전주태평동과외에서 이 유형을 다룰 때는 항의 크기보다 먼저 항의 부호를 확인해야 한다.

학생 풀이에서 생긴 첫 오류

학생은 수열의 공차가 양수라는 이유로 “항이 증가하므로 부분합도 계속 증가한다”고 판단했다. 하지만 공차가 양수여도 항이 음수에서 양수로 변하거나, 양수에서 음수로 변할 수 있다.

부분합을 Sn이라 하면

Sn−Sn−1=an

이다. 따라서 부분합의 증가·감소는 수열의 항 an의 부호로 결정된다.

예시로 최대가 되는 항 개수 찾기

등차수열의 일반항이

an=17−2n

일 때, 첫째 항부터 n번째 항까지의 합이 최대가 되는 n을 구해 보자.

부호 변화 확인

a8=1, a9=−1이므로 항은 8번째까지 양수이고 9번째부터 음수가 된다.

  • n≤8이면 Sn−Sn−1>0이므로 부분합이 증가한다.
  • n≥9이면 Sn−Sn−1<0이므로 부분합이 감소한다.

따라서 부분합은 8번째 항까지 증가한 뒤 감소하기 시작한다. 합이 최대가 되는 항 개수는 n=8이다.

실제로

S8=8(17−8)=72

이다.

최댓값과 최솟값을 구분하는 기준

이 수열의 부분합은

Sn=n(17−n)

으로 나타난다. 자연수 n 전체를 허용하면 n이 커질수록 Sn은 계속 작아져 최솟값은 존재하지 않는다. 따라서 문제에서 항 개수의 범위를 따로 제시했는지 확인해야 한다.

범위가 주어진 경우

예를 들어 1≤n≤16이라면 부분합은 8에서 최대이고, 양 끝을 비교하면

S1=16, S16=16

이므로 최솟값은 16이다.

핵심은 “항이 증가하는가”가 아니라 Sn−Sn−1=an의 부호가 언제 바뀌는가를 확인하는 것이다. 이 기준을 익히면 등차수열의 합이 최대·최소가 되는 항 개수 판단을 안정적으로 할 수 있다.

정리한 내용을 보지 않고 다시 적어 보기

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학교급방문 수업화상 수업
고등33~50만 원30~46만 원

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전주태평동 고2수학과외 수업 후기

새 학습지를 풀던 저녁, 아이가 수열 문제를 보면서 항 번호와 값을 따로 적어 놓은 게 또렷하게 보였어요. 예전에는 나중에 다시 볼 부분도 그냥 머릿속으로 기억하면 된다고 했는지, 자료에는 아무 흔적이 없었거든요. 이번에는 숫자를 한 줄에 몰아 쓰지 않고 번호와 값을 나눠 적은 뒤 두 항 사이가 얼마나 벌어지는지 먼저 살펴보고 있었습니다. 책상 서랍을 정리하다가 전에 풀었던 문제지에서도 같은 방식으로 적힌 흔적을 발견했어요. 전주태평동 수학과외를 알아보던 중에도 아이 책상에 놓인 자료를 가끔 보게 되는데, 마지막에는 다시 확인할 곳 한 군데에만 표시가 남아 있더라고요. 여러 군데에 표시해 두던 모습과 달리, 항 번호와 값의 관계를 적어 둔 부분만 골라 다시 보고 있었습니다.

★★★★★수업 후기

시험 직전 마지막 주말, 아이가 문제를 다 푼 뒤 바로 답지를 찾지 않고 연산 과정을 잠시 들여다보더라고요. 문제를 덮기 전에는 처음 했던 계산과 다른 방식으로 마지막 결과를 한 번 더 확인했어요. 전에는 한 번 본 자료에서 필요한 부분만 다시 찾아보는 일이 거의 없었거든요. 전주태평동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 장면이 집에서 보이니 조금 낯설었습니다. 다음 수업에서 물어볼 내용을 정리하던 밤에도 비슷한 장면이 나타났어요. 자료 전체를 처음부터 넘긴 게 아니라 확인할 곳을 먼저 좁혀 놓고, 앞에서 구한 결과를 다른 방법으로 다시 살폈습니다. 같은 답을 두 번 보는 데 그치지 않고 계산 방식을 바꿔 확인한 뒤 필요한 부분만 남겨 두고 자료를 정리하더라고요.

★★★★★수업 후기

오답 문제를 풀어 놓은 자리를 보니 틀린 부분 전체가 아니라, 처음 잘못 적힌 식 하나만 네모로 묶어 두었더라고요. 중간고사를 일주일 앞둔 때라 그날 공부를 마친 뒤에도 그 표시가 눈에 들어왔어요. 전주태평동 수학과외라는 말을 주변에서 들을 때와는 별개로, 집에서 보인 모습이 전과 달라 보여 유심히 봤습니다. 전에는 오답을 다시 볼 때 정해진 순서대로 처음부터 반복하는 편이었거든요. 그런데 이번에는 어디서부터 고칠지 스스로 범위를 좁혀 놓고, 바로 그 식 옆에 수정할 자리를 남겨 두었어요. 틀린 문제를 통째로 붙잡고 있던 때와 달리 첫 실수 지점을 골라낸 셈이었죠. 단원평가를 앞두고 책을 정리하던 밤에도 같은 방식으로 처음 어긋난 식을 먼저 찾아 표시해 두었습니다. 질문할 부분은 지우지 않고 그대로 남겨 둔 채, 표시된 문제만 따로 확인할 수 있게 정리하고 있었어요.

★★★★☆수업 후기

시험 범위를 함께 확인하던 날, 선생님께서 아이의 실수를 편하게 이야기하도록 기다려 주시는 모습이 인상적이었습니다. 전주태평동 수학과외를 시작한 뒤 아이는 평일 저녁 숙제를 미루지 않고 틀린 문제도 다시 살펴보며, 수업 있는 날을 예전처럼 부담스러워하지 않습니다.

★★★★★수업 후기

수행평가와 시험공부가 겹친 주간에도 아이가 전주태평동 수업에서 틀린 문제를 따로 모아 다시 살펴보는 모습이 인상적이었습니다. 예전에는 조금만 막혀도 손을 놓았지만, 선생님이 그날 복습할 내용을 몇 가지로 줄여 정리해 주신 뒤부터는 모르는 것을 숨기지 않고 질문합니다. 집에서도 한 문제 때문에 수학 전체를 포기하는 일이 눈에 띄게 줄었습니다.

★★★★★수업 후기

전주태평동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 숙제를 마치고 책상을 정리하는 시간이 예전보다 차분해졌습니다. 틀리는 걸 유난히 싫어해 시험 전마다 공부량을 몰아서 늘리곤 했지만, 선생님은 답을 재촉하지 않고 생각할 시간을 충분히 주며 그날 컨디션에 맞춰 수업을 이끌어 주셨습니다. 요즘은 수업 있는 날도 부담스럽지 않고, 일정에 맞춰 꾸준히 공부하는 흐름이 생겼습니다.

★★★★☆수업 후기

학생별 1:1 수업 안내

수업은 학생별 1:1로 진행하며, 현재 학습 상태와 목표에 따라 수업 내용을 달리합니다.