전주태평동 고2수학과외







항의 부호가 바뀌는 순간, 부분합의 방향도 바뀐다
등차수열의 항이 증가한다고 해서 부분합까지 계속 증가하는 것은 아니다. 전주태평동과외에서 이 유형을 다룰 때는 항의 크기보다 먼저 항의 부호를 확인해야 한다.
학생 풀이에서 생긴 첫 오류
학생은 수열의 공차가 양수라는 이유로 “항이 증가하므로 부분합도 계속 증가한다”고 판단했다. 하지만 공차가 양수여도 항이 음수에서 양수로 변하거나, 양수에서 음수로 변할 수 있다.
부분합을 Sn이라 하면
Sn−Sn−1=an
이다. 따라서 부분합의 증가·감소는 수열의 항 an의 부호로 결정된다.
예시로 최대가 되는 항 개수 찾기
등차수열의 일반항이
an=17−2n
일 때, 첫째 항부터 n번째 항까지의 합이 최대가 되는 n을 구해 보자.
부호 변화 확인
a8=1, a9=−1이므로 항은 8번째까지 양수이고 9번째부터 음수가 된다.
- n≤8이면 Sn−Sn−1>0이므로 부분합이 증가한다.
- n≥9이면 Sn−Sn−1<0이므로 부분합이 감소한다.
따라서 부분합은 8번째 항까지 증가한 뒤 감소하기 시작한다. 합이 최대가 되는 항 개수는 n=8이다.
실제로
S8=8(17−8)=72
이다.
최댓값과 최솟값을 구분하는 기준
이 수열의 부분합은
Sn=n(17−n)
으로 나타난다. 자연수 n 전체를 허용하면 n이 커질수록 Sn은 계속 작아져 최솟값은 존재하지 않는다. 따라서 문제에서 항 개수의 범위를 따로 제시했는지 확인해야 한다.
범위가 주어진 경우
예를 들어 1≤n≤16이라면 부분합은 8에서 최대이고, 양 끝을 비교하면
S1=16, S16=16
이므로 최솟값은 16이다.
핵심은 “항이 증가하는가”가 아니라 Sn−Sn−1=an의 부호가 언제 바뀌는가를 확인하는 것이다. 이 기준을 익히면 등차수열의 합이 최대·최소가 되는 항 개수 판단을 안정적으로 할 수 있다.
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