연산동과외에서 조각함수 적분을 다룰 때는 계산보다 먼저 함수식이 바뀌는 지점을 찾습니다. 연산LG아파트와 부산광역시립연산도서관을 잇는 생활권처럼 구간도 여러 부분으로 나뉠 수 있다는 점을 떠올리면 이해하기 쉽습니다.
다음 함수의 정적분을 구해 봅니다.
학생은 첫 번째 식을 전체 구간에 적용하여
이라고 적었습니다.
하지만 x=1에서 함수식이 바뀌므로 이 계산은 구간 전체에 같은 식을 적용한 오류입니다.
적분구간 [-2, 3] 안에 경계 x=1이 있으므로 다음처럼 분할합니다.
, 이므로 최종값은 9입니다.
이번에는 다음 함수를 적분합니다.
경계 x=0을 기준으로 나누면
잠들기 전 불을 끄러 방에 들어갔다가 아이 책상 앞에서 발길이 멈췄어요. 해설지와 자기 풀이를 펼쳐 놓고 전체를 다시 읽는 게 아니라, 두 자료가 처음 달라지는 한 줄만 번갈아 보고 있더라고요. 예예전에는 헷갈린 부분을 따로 골라내기보다 자료를 처음부터 반복해서 보는 편이었거든요. 연산동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 차이가 눈에 들어왔는데, 그날은 이미 풀이를 비교하는 순서가 꽤 분명해 보이더라고요. 해설지의 답을 먼저 따라가는 대신 자기 계산에서 어디부터 달라졌는지 찾아보고 있었습니다. 다음 모의고사 문제를 펼쳤을 때도 해설과 자기 풀이의 첫 차이를 곧장 확인했어요. 그리고 나중에 다시 볼 수 있도록 그 부분에 표시를 해두더라고요. 이번에는 자료 전체를 되풀이하지 않고, 달라진 한 줄부터 짚었습니다.
새로운 조건이 붙은 문제를 읽던 날, 아이는 긴 문장을 전부 옮겨 적지 않고 필요한 부분만 골라 식 옆에 짧게 남겼어요. 조건이 많으면 그대로 베껴 쓰던 모습과는 달라서, 어떤 내용을 계산에 써야 하는지 먼저 가려낸 것처럼 보였습니다. 마지막에도 여러 문장을 덧붙이지 않고 한 부분만 남겨 두었고요. 집에서 문제집을 책상 한쪽으로 밀어 두려다가 메모 한 장을 발견했는데, 거기에도 문제 조건을 아이 나름대로 짧게 바꿔 적어 놓았더라고요. 예예전에는 한 번 풀고 난 자료에서 무엇을 다시 볼지 스스로 고르는 일이 거의 없었거든요. 연산동 수학과외 이야기를 나누던 때와는 별개로, 그날에는 이미 본 문제를 그냥 넘기지 않고 필요한 조건만 식 옆에 붙여 둔 모습이 눈에 띄었어요.
시험이 끝난 뒤 연산동 수학과외 선생님과 다음 공부 계획을 이야기하던 저녁, 아이가 먼저 이번 주에 궁금한 점을 적어두는 모습이 기억에 남았습니다. 예전에는 한 문제에 오래 매달리며 답만 확인하려 했지만, 선생님은 어려운 문제 사이에 부담 적은 문제를 넣고 이해했는지 살피며 수업 속도를 조절해 주셨습니다. 요즘은 숙제도 전보다 편하게 시작하고, 스스로 해냈다는 표정이 조금씩 보입니다.
수업 시작 10분 전이면 예전에는 시험에 나올 것 같은 새 문제부터 급하게 풀었는데, 요즘은 연산동 집에서 지난 시간 오답과 숙제 계획을 먼저 확인합니다. 선생님께서는 진도를 챙기면서도 모르는 부분을 바로 답하게 재촉하지 않고 천천히 질문을 이어 가셔서, 제가 스스로 생각할 시간을 주십니다. 그래서 틀릴까 눈치 보며 질문을 피하던 모습이 조금씩 줄고, 수업을 마친 뒤에도 정한 공부를 이어 가게 됐습니다.
연산동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이와 수업 이야기를 나눌 때 표정이 한결 편안해졌습니다. 예전에는 배운 내용을 금방 잊고 숙제를 몰아서 했지만, 선생님은 학교 진도에 맞춰 복습할 시간을 남기고 차분히 이끌어 주셨습니다. 첫 시험을 준비하며 스스로 책상에 앉아 모르는 부분을 먼저 확인하는 모습이 특히 인상 깊었습니다.