선학동 중3수학과외
선학동 중3수학과외에서 살펴본 60° 삼각비 선택
선학동과외 수업에서 한 학생의 풀이 기록을 펼쳤다. 선학중학교가 포함된 생활권에서 시험 대비 문제를 풀던 중이었고, 금호아파트가 있는 생활권이나 선학동행정복지센터 인근에서 자주 접하는 거리와 건물 높이를 소재로 삼은 문제였다. 이번 시간의 초점은 여러 삼각비를 넓게 외우는 것이 아니라, 60°를 기준으로 어떤 두 변을 선택해 비를 세우는가였다.
답보다 먼저 드러난 잘못된 표시
문제에는 직각삼각형 ABC가 있고, ∠B=90°, ∠A=60°, AB=5cm, 빗변 AC가 표시되어 있었다. 물음은 BC의 길이를 구하는 것이었다. 학생은 그림의 60° 표시를 확인하지 않은 채 다음과 같이 적었다.
sin 60° = 5 ÷ BC
BC = 5 ÷ (√3/2)
계산 자체는 이어서 진행했지만, 이 식은 기준각에서 변의 역할을 잘못 정한 식이었다. ∠A를 기준으로 보면 AC는 빗변이고, BC는 60°의 맞은편 변이다. 따라서 BC를 구할 때는 ‘맞은편 변 ÷ 빗변’의 형태로 비를 세워야 한다.
중요한 점은 마지막 나눗셈에서 실수한 것이 아니라는 사실이다. 학생은 계산 전에 60°를 어느 꼭짓점의 각으로 읽을지 정하지 않고 변부터 골랐다. 바로 이 판단이 풀이를 틀어지게 만든 첫 지점이었다.
한 줄 표시로 바꾼 풀이 순서
계산식을 전부 다시 쓰게 하지는 않았다. 먼저 그림의 ∠A에 동그라미를 치고, 그 각에서 변의 역할을 짧게 적었다.
- 기준각: ∠A=60°
- 빗변: 직각 표시의 맞은편인 AC
- 구할 변: 기준각의 맞은편인 BC
그다음 이미 알고 있던 60°의 삼각비 값을 그대로 사용해 식을 세웠다.
sin 60° = BC ÷ AC
√3/2 = BC ÷ 10
BC = 5√3cm
여기서 직접 고친 행동은 하나였다. 계산 전에 기준각을 표시하고, 그 기준에서 빗변과 맞은편 변을 다시 확인하는 것이다. 처음 문제에서 변의 길이를 읽은 과정과 계산 과정은 유지했으며, 기준을 바꾼 뒤에 필요한 비만 바로잡았다. 선학동중3수학과외 수업에서도 이처럼 식을 많이 추가하기보다 첫 선택이 어디에서 나왔는지를 확인했다.
그림의 방향을 바꾼 새 상황
다음 문제에서는 도형을 좌우로 뒤집었다. 직각삼각형 PQR에서 ∠Q=90°, ∠R=60°, PQ=6cm이고, PR의 길이를 구하는 상황이었다. 이번에는 미지수가 빗변에 놓였고, 주어진 6cm는 ∠R에서 보았을 때 맞은편 변이었다. 앞 문제의 숫자나 식을 그대로 바꾸는 방식이 아니라, 기준각의 위치와 물어보는 변의 역할을 바꾸어 제시했다.
학생은 먼저 ∠R에 작은 표시를 하고, “PQ는 맞은편, PR은 빗변”이라고 적었다. 이어서 60°에서 맞은편 변과 빗변을 연결하는 비를 선택했다.
sin 60° = PQ ÷ PR
√3/2 = 6 ÷ PR
PR = 4√3cm
이때 학생이 확인한 것은 숫자가 비슷한지 여부가 아니었다. “구하려는 PR이 분모에 들어가야 빗변과 맞은편 변의 비가 된다”고 설명했다. 그림이 돌아가고 미지수의 위치가 달라져도 60°에서 변의 역할을 다시 정한 것이다.
힌트 없이 다시 확인한 기록
마지막에는 새 그림을 별도로 제시했다. 직각삼각형 XYZ에서 ∠Y=90°, ∠X=60°, XZ=14cm일 때 YZ를 구하는 문제였다. 아무 표시도 해 주지 않자 학생은 먼저 ∠X에 밑줄을 긋고, “XZ는 직각의 맞은편이므로 빗변, YZ는 60°의 맞은편”이라고 썼다.
sin 60° = YZ ÷ 14
√3/2 = YZ ÷ 14
YZ = 7√3cm
검산도 힌트 없이 진행했다. 구한 길이 7√3을 빗변 14로 나누면 √3/2가 되어, 처음 선택한 60°의 비와 일치한다고 설명했다. 최종적으로 학생은 “숫자를 보기 전에 기준각을 표시해야 변의 역할을 정할 수 있다”고 풀이 근거를 말했고, 새로운 그림에서도 같은 기준을 스스로 재현했다.