선학동 고2수학과외

결과가 아니라 높이를 먼저 확인하는 삼각형 넓이

두 삼각형의 넓이를 비교했는데, 한쪽의 변 길이가 더 길다는 이유만으로 그 삼각형이 더 넓다고 판단했다면 비교 기준을 다시 세워야 합니다. 선학동과외 수업에서는 같은 밑변을 기준으로 대응하는 높이를 먼저 확인하게 합니다.

최종 판정에서 원인을 역추적하기

밑변이 같은 두 삼각형 \(ABC\), \(DBC\)에서 \(BC=8\)이라고 하겠습니다. 각각의 대응 높이가 \(5\), \(7\)이면 넓이는

\[ [ABC]=\frac{8\times5}{2}=20,\qquad [DBC]=\frac{8\times7}{2}=28 \]

따라서 \(DBC\)의 넓이가 더 큽니다. 다른 변 하나가 더 길다는 사실만으로는 넓이를 결정할 수 없습니다.

같은 밑변에서는 높이의 크기가 곧 넓이비가 된다

밑변과 높이로 비교하기

삼각형의 넓이는 \(\frac12\times\text{밑변}\times\text{높이}\)입니다. 밑변이 같다면 공통인 \(\frac12\)와 밑변을 제외할 수 있으므로 높이만 비교하면 됩니다.

밑변이 \(a\), 대응 높이가 각각 \(h_1,h_2\)라면

\[ \frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac12ah_1}{\frac12ah_2} =\frac{h_1}{h_2} \]

사인공식으로 같은 결론 확인하기

두 변과 그 사이각을 이용하면 \(S=\frac12ab\sin\theta\)입니다. 같은 밑변 \(a\)에서 다른 변의 길이가 \(b_1,b_2\), 끼인각이 \(\theta_1,\theta_2\)라면

\[ \frac{S_1}{S_2} =\frac{b_1\sin\theta_1}{b_2\sin\theta_2} \]

따라서 변의 길이만 비교하지 말고, 그 변과 밑변 사이의 각까지 함께 봐야 합니다. 예를 들어 \(a=6\), \(b_1=10\), \(\theta_1=30^\circ\), \(b_2=8\), \(\theta_2=60^\circ\)이면

\[ S_1=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\sin30^\circ=15, \quad S_2=\frac12\cdot6\cdot8\cdot\sin60^\circ=12\sqrt3 \]

\(15>12\sqrt3\)이므로 첫 번째 삼각형의 넓이가 더 큽니다. 길이와 각을 함께 계산해야 정확한 판정이 가능합니다.

수치 계산 없이 판단하는 기준

같은 밑변에서 대응 높이가 더 큰 삼각형이 더 넓습니다. 사인공식으로 제시되었다면 \(b\sin\theta\)의 크기를 비교합니다. 이 기준으로 풀이를 점검하면 ‘긴 변이 있으니 넓이도 크다’는 오류를 피하고, 새로운 삼각형에서도 넓이비를 스스로 판단할 수 있습니다.