망미동 중3수학과외

망미동 중3수학과외에서 확인한 인수분해의 기준

망미동과외 수업에서 주말 복습 기록을 함께 살펴보던 중, 학생이 유형 이름을 적지 않고 바로 식을 정리한 풀이가 눈에 들어왔습니다. 문제는 9x²-25를 인수분해하시오였습니다. 수영강변 e편한세상 2차아파트와 수영강변 e편한세상 3차아파트가 있는 생활권, 망미중학교가 포함된 지역에서 중3수학을 공부할 때도 이런 식은 공식 암기보다 두 항이 각각 제곱인지 확인하는 과정이 중요합니다.

답보다 먼저 남은 풀이 기록

9x²-25
= (3x-5)(3x-5)

학생은 먼저 9x²에서 3x를, 25에서 5를 찾았습니다. 여기까지는 정확했습니다. 이어서 두 인수의 부호를 모두 마이너스로 적고, “3x와 5를 곱하면 15x, 두 항을 더하면 10”이라고 설명했습니다. 그러나 이 식은 두 항의 곱과 합을 맞추는 방식으로 처리할 식이 아니었습니다. 원래 식에는 가운데 항이 없으므로, 선택한 인수를 곱했을 때 생기는 가운데 항도 반드시 확인해야 했습니다.

가장 먼저 어긋난 판단은 제곱된 두 항의 차를 보고도 같은 부호의 인수를 선택한 것이었습니다. 계산 마지막에 부호를 잘못 쓴 것이 아니라, 인수를 고르는 기준에서 이미 원식과 다른 구조를 택한 셈입니다. 실제로 학생의 결과를 전개하면

(3x-5)(3x-5)=9x²-30x+25

가 되어 가운데 항과 상수항의 부호가 모두 원식과 달라집니다.

한 가지 기준으로 다시 고르기

교정은 여러 풀이법을 추가하는 방식이 아니라, 인수를 고르는 행동 하나만 바꾸었습니다. 학생이 종이에 다음처럼 두 조건을 나누어 적었습니다.

• 각 항은 제곱인가? 9x²=(3x)², 25=5²
• 원식의 두 항 사이는 어떤 관계인가? 9x²-25=(3x)²-5²

두 제곱의 차라면 인수의 부호가 서로 달라야 하므로, 이미 찾은 3x와 5를 그대로 사용해 다음과 같이 고쳤습니다.

9x²-25=(3x)²-5²=(3x-5)(3x+5)

앞에서 찾은 제곱근 계산은 그대로 유지하고, 달라진 것은 두 인수의 부호를 서로 반대로 선택한 한 부분뿐입니다. 다시 전개하면

(3x-5)(3x+5)=9x²+15x-15x-25=9x²-25

가 되어 가운데 항이 서로 없어지고 원식이 돌아옵니다. 이때 핵심은 인수의 모양을 외우는 데 있지 않고, 제곱된 두 항 사이의 마이너스가 인수의 서로 다른 부호로 이어지는지를 확인하는 데 있습니다.

모양을 바꾼 연습 문제

며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 식의 표현을 달리했습니다. 다음 문제를 제시했습니다.

4a²-(b-2)²를 인수분해하시오.

이번에는 두 번째 항이 단순한 숫자가 아니라 괄호 전체의 제곱으로 제시되었습니다. 학생은 먼저

4a²=(2a)²

라고 표시한 뒤, 원식이

(2a)²-(b-2)²

꼴임을 확인했습니다. 그리고 두 제곱의 차에서 인수의 부호가 서로 달라야 한다는 기준을 적용하여

4a²-(b-2)²=(2a-(b-2))(2a+(b-2))

라고 적었습니다. 괄호 안을 굳이 전개하지 않고도 원래 식과 같은 두 제곱의 차 구조를 보존한 점이 이전 풀이와 달라졌습니다.

힌트 없이 다시 확인한 장면

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(5m+1)²-16n²를 인수분해하고, 전개하여 확인하시오.

학생은 먼저 첫 항을 그대로 제곱으로 보고, 둘째 항을 (4n)²로 바꾸어 표시했습니다. 이어서 두 항 사이가 마이너스이므로 인수의 부호를 다르게 선택했습니다.

(5m+1)²-(4n)²
=(5m+1-4n)(5m+1+4n)

풀이 이유를 묻자 “두 항이 각각 제곱이고, 제곱 사이가 빼기라서 한쪽 인수는 빼기, 다른 쪽은 더하기로 정했다”고 설명했습니다. 마지막으로 두 인수를 다시 곱해

(5m+1)²-(4n)²

이 되어 제시된 원식과 일치한다고 검산했습니다. 망미동중3수학과외에서 확인한 변화는 풀이 속도가 아니라, 새로운 식에서도 제곱 여부와 두 항 사이의 부호를 스스로 먼저 선택했다는 점입니다.