망미동 중2수학과외

부등식과 방정식을 가르는 한 줄의 판단

망미동과외 수업에서 학생은 식을 계산하는 속도보다 등호와 부등호를 읽는 방식에서 자주 멈췄다. 망미중학교가 포함된 생활권의 문제를 다루던 날에도, 식의 모양은 비슷했지만 질문은 서로 달랐다.

첫 식에서 드러난 오류

교사는 다음 상황을 제시했다.

한 개에 2,000원인 노트를 몇 권 사고 3,000원짜리 펜 하나를 샀다. 가진 돈이 15,000원 이하라면 노트의 개수는 몇 권까지 살 수 있는가?

학생은 노트의 개수를 x로 두고 2000x+3000≤15000이라고 적었다. 여기까지는 문장의 ‘이하’를 부등호로 옮긴 올바른 출발이었다. 학생은 양변에서 3,000을 빼며 왼쪽에는 2000x를 남겼지만, 오른쪽에 적은 계산은 15,000+3,000이었다. 예제에서 이항할 때 항을 반대편으로 옮긴다는 말만 따라가다가, 실제로는 양변에 같은 수를 더하거나 빼야 한다는 판단을 놓친 것이다.

그 결과 2000x≤18000이라고 적고 x≤9를 얻었다. 계산 결과가 틀린 뒤의 문제가 아니라, 한쪽 항을 옮긴다는 표현을 양변에 같은 연산을 하는 과정으로 바꾸지 않은 것이 최초의 어긋남이었다.

양변에 한 연산을 동시에 적용하기

교사는 다른 풀이법을 여러 개 제시하지 않고, 학생의 첫 식을 그대로 살렸다. 학생은 식 아래에 두 줄을 나란히 적었다.

• 2000x+3000≤15000
• 2000x+3000-3000≤15000-3000

그다음 2000x≤12000, x≤6으로 정리했다. 이때 교사는 등호가 있는 방정식에서도 같은 방식으로 양변에 같은 연산을 한다는 점을 확인하게 했다. 예를 들어 2000x+3000=15000이면 양변에서 3000을 빼서 2000x=12000, x=6이 된다. 방정식은 조건을 만족하는 값을 등호로 확정하지만, 부등식은 여러 값을 한 범위로 남긴다는 차이를 식의 결과로 직접 확인했다.

학생은 두 식의 끝부분에 표시를 붙였다. x=6은 하나의 값, x≤6은 6을 포함한 범위라고 적고, 노트 개수처럼 물건의 수를 묻는 문장에서는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6만 가능하다고 덧붙였다. 이미 맞았던 ‘x를 노트 개수로 두기’와 ‘이하를 ≤로 쓰기’는 그대로 유지했다.

부호가 바뀌는 변형 문제

다음 문제에서는 식을 바로 주지 않았다.

기온이 영하 2도보다 낮거나 같다는 조건을 부등식으로 나타내고, 양변에 -1을 곱했을 때 부등호가 어떻게 되는지 설명하시오.

학생은 기온을 t로 정하고 먼저 t≤-2라고 썼다. 이어서 양변에 -1을 곱하는 줄을 따로 적었다.

• t≤-2
• -t≥2

이번에는 숫자만 바꾼 문제가 아니었다. 앞에서는 양수로 나누어 범위를 구했지만, 이번에는 음수를 곱해 부등호 방향을 판단해야 했다. 학생은 수직선 대신 -3을 대입해 원래 조건을 확인했다. -3≤-2는 참이고, 양변에 -1을 곱한 3≥2도 참이므로 방향이 바뀌어야 한다고 설명했다. 등호식에서는 양변에 -1을 곱해도 등호가 그대로라는 점과 비교하며, 부등호에서만 방향을 살펴야 하는 이유도 말했다.

힌트 없이 다시 세운 첫 판단

한 주 뒤, 학생에게 식과 질문의 순서를 바꾼 문제가 주어졌다.

어떤 수에 4를 더한 값이 10보다 크다. 이 수를 구하는 식을 세우고, 음수 -2를 곱한 뒤의 범위를 나타내시오.

학생은 도움을 기다리지 않고 먼저 ‘값 하나가 아니라 범위이므로 부등식’이라고 말한 뒤, x+4>10을 적었다. 양변에서 4를 빼 x>6을 만든 다음, 양변에 -2를 곱해 -2x<-12라고 썼다. 마지막에는 x=7을 넣어 원래 식 7+4>10이 참인지 확인하고, 변형한 식에서도 -14<-12가 참이라고 검산했다.

학생은 “방정식이면 등호를 유지하며 한 값을 찾고, 부등식이면 문장의 범위를 표시한다. 양변에 같은 연산을 하되 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향을 바꾼다”고 스스로 설명했다. 망미동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 정답 개수가 아니라, 새 문장을 읽은 직후 식의 종류와 첫 연산을 혼자 선택하고 원래 조건까지 대입해 근거를 남긴 장면에 있었다.