망미동 중2수학과외
부등식과 방정식을 가르는 한 줄의 판단
망미동과외 수업에서 학생은 식을 계산하는 속도보다 등호와 부등호를 읽는 방식에서 자주 멈췄다. 망미중학교가 포함된 생활권의 문제를 다루던 날에도, 식의 모양은 비슷했지만 질문은 서로 달랐다. 수영강변 e편한세상 2차아파트와 부산광역시립서동도서관이 있는 생활권에서 접할 법한 실생활 문장을 수식으로 바꾸며, 학생은 ‘값을 하나로 정하는가’와 ‘가능한 범위를 찾는가’를 구별해야 했다.
첫 식에서 드러난 오류
교사는 다음 상황을 제시했다.
한 개에 2,000원인 노트를 몇 권 사고 3,000원짜리 펜 하나를 샀다. 가진 돈이 15,000원 이하라면 노트의 개수는 몇 권까지 살 수 있는가?
학생은 노트의 개수를 x로 두고 2000x+3000≤15000이라고 적었다. 여기까지는 문장의 ‘이하’를 부등호로 옮긴 올바른 출발이었다. 학생은 양변에서 3,000을 빼며 왼쪽에는 2000x를 남겼지만, 오른쪽에 적은 계산은 15,000+3,000이었다. 예제에서 이항할 때 항을 반대편으로 옮긴다는 말만 따라가다가, 실제로는 양변에 같은 수를 더하거나 빼야 한다는 판단을 놓친 것이다.
그 결과 2000x≤18000이라고 적고 x≤9를 얻었다. 계산 결과가 틀린 뒤의 문제가 아니라, 한쪽 항을 옮긴다는 표현을 양변에 같은 연산을 하는 과정으로 바꾸지 않은 것이 최초의 어긋남이었다.
양변에 한 연산을 동시에 적용하기
교사는 다른 풀이법을 여러 개 제시하지 않고, 학생의 첫 식을 그대로 살렸다. 학생은 식 아래에 두 줄을 나란히 적었다.
- 2000x+3000≤15000
- 2000x+3000-3000≤15000-3000
그다음 2000x≤12000, x≤6으로 정리했다. 이때 교사는 등호가 있는 방정식에서도 같은 방식으로 양변에 같은 연산을 한다는 점을 확인하게 했다. 예를 들어 2000x+3000=15000이면 양변에서 3000을 빼서 2000x=12000, x=6이 된다. 방정식은 조건을 만족하는 값을 등호로 확정하지만, 부등식은 여러 값을 한 범위로 남긴다는 차이를 식의 결과로 직접 확인했다.
학생은 두 식의 끝부분에 표시를 붙였다. x=6은 하나의 값, x≤6은 6을 포함한 범위라고 적고, 노트 개수처럼 물건의 수를 묻는 문장에서는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6만 가능하다고 덧붙였다. 이미 맞았던 ‘x를 노트 개수로 두기’와 ‘이하를 ≤로 쓰기’는 그대로 유지했다.
부호가 바뀌는 변형 문제
다음 문제에서는 식을 바로 주지 않았다.
기온이 영하 2도보다 낮거나 같다는 조건을 부등식으로 나타내고, 양변에 -1을 곱했을 때 부등호가 어떻게 되는지 설명하시오.
학생은 기온을 t로 정하고 먼저 t≤-2라고 썼다. 이어서 양변에 -1을 곱하는 줄을 따로 적었다.
- t≤-2
- -t≥2
이번에는 숫자만 바꾼 문제가 아니었다. 앞에서는 양수로 나누어 범위를 구했지만, 이번에는 음수를 곱해 부등호 방향을 판단해야 했다. 학생은 수직선 대신 -3을 대입해 원래 조건을 확인했다. -3≤-2는 참이고, 양변에 -1을 곱한 3≥2도 참이므로 방향이 바뀌어야 한다고 설명했다. 등호식에서는 양변에 -1을 곱해도 등호가 그대로라는 점과 비교하며, 부등호에서만 방향을 살펴야 하는 이유도 말했다.
힌트 없이 다시 세운 첫 판단
한 주 뒤, 학생에게 식과 질문의 순서를 바꾼 문제가 주어졌다.
어떤 수에 4를 더한 값이 10보다 크다. 이 수를 구하는 식을 세우고, 음수 -2를 곱한 뒤의 범위를 나타내시오.
학생은 도움을 기다리지 않고 먼저 ‘값 하나가 아니라 범위이므로 부등식’이라고 말한 뒤, x+4>10을 적었다. 양변에서 4를 빼 x>6을 만든 다음, 양변에 -2를 곱해 -2x<-12라고 썼다. 마지막에는 x=7을 넣어 원래 식 7+4>10이 참인지 확인하고, 변형한 식에서도 -14<-12가 참이라고 검산했다.
학생은 “방정식이면 등호를 유지하며 한 값을 찾고, 부등식이면 문장의 범위를 표시한다. 양변에 같은 연산을 하되 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향을 바꾼다”고 스스로 설명했다. 망미동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 정답 개수가 아니라, 새 문장을 읽은 직후 식의 종류와 첫 연산을 혼자 선택하고 원래 조건까지 대입해 근거를 남긴 장면에 있었다.