알파시티 중3수학과외







알파시티 생활권에서 살펴본 전개식의 첫 오류
이날의 범위는 여러 단원을 섞지 않고 (a+b)²의 전개 구조 하나로 제한했습니다.
답에서 거꾸로 올라가 본 풀이 기록
제시된 식은 다음과 같았습니다.
(2x+3)² = 4x²+9
학생은 제한 시간 안에 괄호 안의 두 항을 각각 제곱했습니다. 풀이 종이에는 먼저 “(2x)²=4x², 3²=9”라고 적혀 있었고, 이어서 완성된 풀이를 뒤에서부터 읽으며 답이 틀린 이유를 찾으려 했습니다. 계산 자체인 2²=4와 3²=9는 맞았지만, 두 항을 곱해 만들어지는 가운데 항은 기록하지 않았습니다.
따라서 마지막의 4x²+9가 틀렸다는 사실보다 먼저 확인할 것은 전개 과정에서 곱해져야 하는 항 하나를 빠뜨린 판단입니다. (a+b)²는 첫 항의 제곱과 둘째 항의 제곱만 모으는 식이 아니라, 괄호를 두 번 곱한 결과입니다.
(2x+3)²를 실제로 두 괄호로 펼치면 다음과 같습니다.
(2x+3)(2x+3)
= (2x)(2x)+(2x)(3)+3(2x)+3·3
= 4x²+6x+6x+9
= 4x²+12x+9
처음 어긋난 지점은 6x를 계산하지 못한 것이 아니라, 아예 두 교차 곱을 확인하지 않은 것입니다. 뒤에서 동류항을 정리하는 단계는 아직 시작되지 않았으므로, 계산 실수로 판단하지 않고 전개의 첫 구조를 잘못 선택한 것으로 보았습니다.
다시 푸는 대신, 빠진 곱만 드러내기
교정할 때 학생에게 전체 풀이를 처음부터 다시 쓰게 하지 않았습니다. 원래 맞았던 제곱 계산은 그대로 두고, 두 항이 서로 한 번씩 곱해지는 줄만 사이에 넣었습니다.
(2x)² + (2x)(3) + 3(2x) + 3²
= 4x² + 6x + 6x + 9
= 4x² + 12x + 9
이 한 줄을 추가하자 “가운데 항은 한 번이 아니라 양쪽에서 두 번 생긴다”는 구조가 풀이에 나타났습니다. 핵심은 공식을 외워 새로 적용하는 것이 아니라, 전개할 때 첫 항과 둘째 항 사이의 곱을 빠뜨리지 않는 행동으로 바꾸는 데 있었습니다.
모양을 바꾼 문제에서 확인한 전개 구조
다음 문제는 중간 풀이를 가린 채 제시했습니다.
직사각형의 가로가 (y+5), 세로도 (y+5)일 때 넓이를 전개하여 나타내시오.
이번에는 단순히 숫자를 바꾼 식을 주지 않고, 같은 길이의 두 변을 가진 직사각형 넓이라는 표현에서 시작했습니다. 학생은 넓이를 먼저
(y+5)(y+5)
로 바꾼 뒤, 첫 번째 괄호의 두 항이 두 번째 괄호의 두 항과 각각 곱해진다는 표를 간단히 적었습니다.
- y×y = y²
- y×5 = 5y
- 5×y = 5y
- 5×5 = 25
따라서 넓이는 y²+5y+5y+25, 즉 y²+10y+25입니다. 그림에서 출발했지만 넓이를 구하는 다른 공식이나 별도의 단원으로 넘어가지 않고, 두 괄호의 항별 곱을 빠짐없이 확인하는 데만 집중했습니다.
힌트 없이 남긴 마지막 검증
수업 끝에는 새 식을 말로 읽어 주지 않고 다음 문제만 적어 주었습니다.
(3t-4)²을 전개하고, 전개 전후에 t=2를 대입하여 같은 값인지 확인하시오.
학생은 먼저
(3t-4)(3t-4)
= 9t²-12t-12t+16
= 9t²-24t+16
이라고 적었습니다. 부호가 있는 항에서도 두 교차 곱을 모두 적은 뒤 동류항을 정리했습니다. 이후 전개 전에는 (3·2-4)²=2²=4, 전개 후에는 9·2²-24·2+16=36-48+16=4라고 계산했습니다.
학생은 “두 결과가 같으므로 가운데 항 -24t를 포함한 전개가 식의 값과 맞는다”고 설명했습니다. 숫자와 부호가 달라져도, 항별 곱을 먼저 빠짐없이 적고 대입으로 전개 전후를 비교하는 기준을 스스로 선택했습니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
중등 수학
개념의 뜻, 식을 세우는 과정, 계산과 검산, 도형의 조건, 자료 해석을 현재 단원에 맞춰 확인합니다. 앞 학년 내용 때문에 막힌다면 필요한 개념만 연결해 복습하고 서술형의 풀이 근거도 점검합니다.
중3 점검 기준
누적된 어휘·개념의 빈틈과 현재 진도를 나누어 점검하고, 새로운 문제에서도 풀이 기준이 유지되는지 확인합니다.
수업 진행 예시
문장 조건을 식으로 옮기기
어떤 수의 두 배에 3을 더하면 15일 때 2x + 3 = 15로 나타낼 수 있습니다. x = 6을 구한 뒤 2 × 6 + 3 = 15인지 확인하며 식의 의미와 검산을 연결합니다.
괄호와 부호 확인하기
2a(3a − 2)는 6a² − 4a입니다. a = 1을 넣으면 원래 식과 전개한 식이 모두 2인지 비교할 수 있습니다. 이 단원을 배운 학생에게 적용하며 수치 확인만으로 일반적인 증명이 되는 것은 아닙니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
수업 진행 안내
상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업
학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.
중등 과외 수업료
| 학교급 | 방문 수업 | 화상 수업 |
|---|---|---|
| 중등 | 29~44만 원 | 26~40만 원 |
회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.
주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.
수업 이용에 관한 자주 묻는 질문
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