알파시티 중1수학과외

유리수를 수직선에 표시하는 한 번의 풀이

알파시티 생활권과 대구광역시립수성도서관 인근 생활권에서 중1 수학을 지도할 때, 유리수를 수직선에 나타내는 문제는 계산보다 눈금과 방향을 먼저 읽는 과정이 중요하다. 대구동중학교가 포함된 생활권의 학습 사례에서도 학생은 답을 빠르게 표시했지만, 어디에서 판단이 어긋났는지 되짚은 뒤 같은 개념을 다른 모양의 문제에 적용했다.

수직선에서 오답의 시작점 찾기

문제에는 왼쪽에 -1, 오른쪽에 0이 표시되어 있고, 두 정수 사이가 네 칸으로 나뉘어 있었다. 점 P는 -1에서 오른쪽으로 세 칸째에 놓여 있었다. 학생은 수직선 아래에 P=-1/3이라고 적고, -1에서 0으로 이동했으니 분자는 1, 분모는 3이라고 설명했다.

계산 자체가 틀린 것이 아니라, 첫 판단에서 점의 위치를 세는 기준을 잘못 잡았다. -1에서 0까지 네 칸이므로 한 칸의 크기는 1/4이다. 학생은 칸 수를 확인하기 전에 눈에 보이는 ‘세 칸째’만 분모 3으로 정해 버렸다.

정수 사이의 전체 칸 수가 분모를 결정하고, 기준점에서 이동한 칸 수가 분자를 결정한다.

교정할 때 풀이 전체를 다시 쓰게 하지 않고, 수직선 위에 -1과 0을 동그라미로 표시한 다음 그 사이의 칸을 하나씩 세게 했다. -1에서 0까지 4칸, P까지는 오른쪽으로 3칸이라는 표시를 남겼다. 따라서 -1에서 시작해 3/4만큼 오른쪽으로 간 값은

-1+3/4=-1/4

가 된다. 학생은 P의 위치가 0보다 왼쪽이면서 -1보다 오른쪽이라는 점도 확인했다. 구한 값 -1/4가 그 위치에 놓이는지 수직선에 다시 표시하자, 처음 적은 -1/3이 왜 점과 맞지 않았는지 스스로 설명할 수 있었다.

그림의 방향이 바뀐 문제에 적용하기

다음 문제는 같은 수직선을 180도 돌려 놓은 듯한 그림이었다. 이번에는 오른쪽 점 A에 2, 왼쪽 점 B에 1이 표시되고, 두 점 사이가 다섯 칸으로 나뉘어 있었다. 점 Q는 A에서 왼쪽으로 두 칸 떨어져 있었다. 숫자를 곧바로 읽으려던 학생에게 먼저 ‘어느 점이 큰 수인가?’를 묻자, 학생은 오른쪽의 2가 왼쪽의 1보다 크므로 수직선의 오른쪽 방향은 여전히 큰 수를 향한다고 판단했다.

학생은 1과 2 사이의 전체 칸 수를 5로 적고, Q의 위치를 2에서 왼쪽으로 2/5만큼 이동한 것으로 나타냈다.

Q=2-2/5=8/5

이번에는 점 이름과 그림의 방향이 달라졌지만, 실제로 표시된 두 수와 그 사이의 칸 수만 근거로 삼았다. 점 Q가 1과 2 사이에 있어야 한다는 조건도 마지막에 대조했다. 불필요한 후보인 7/5나 9/5를 고르지 않고, 8/5가 1보다 크고 2보다 작은지 확인해 위치와 값이 일치함을 설명했다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

검증 문제에서는 -2와 -1 사이를 여섯 칸으로 나눈 수직선에서 점 R이 -2에서 오른쪽으로 다섯 칸째에 있었다. 학생은 별도의 표시나 질문 없이 먼저 전체 칸 수를 6으로 적고, 시작점이 -2임을 확인했다.

R=-2+5/6=-7/6

이어 “-2에서 오른쪽으로 갔으므로 -2보다 크고, 한 칸이 1/6이므로 다섯 칸 이동은 5/6이다”라고 풀이 이유를 말한 뒤, -7/6을 원래 위치에 대입하듯 수직선에서 다시 확인했다. -7/6은 -2와 -1 사이에 있고 -2에서 5/6만큼 오른쪽인 값이므로 점 R과 맞았다. 처음 오류였던 ‘칸 수를 확인하기 전 분모를 정하는 습관’도 다시 나타나지 않았다.

이처럼 알파시티과외에서는 유리수의 부호나 계산만 따로 외우기보다, 표시된 정수·전체 눈금·이동 방향을 한 장면에서 연결해 확인한다. 알파시티중1수학과외에서도 그림의 점 이름과 방향이 바뀌어도 주어진 표시를 다시 읽고 같은 근거로 재현하는지를 풀이의 끝에서 확인한다.