범어동 고3수학과외

경계에서 걸러진 로그방정식의 후보근

대구광역시립수성도서관 인근에서 주말 실전 세트를 풀던 학생은 로그방정식의 식을 보자마자 진수끼리의 관계를 정리하려 했다. 문제는 다음과 같았다.

log₂(x−1)+log₂(x−3)=1

학생은 두 로그를 합쳐 (x−1)(x−3)=2를 얻었고, 곧바로 이차방정식을 풀었다. 해는 x=2+√3, x=2−√3이었다. 여기까지의 계산은 맞았지만, 답안에는 두 값을 모두 후보로 적으려 했다.

오답을 거꾸로 읽어 찾은 첫 갈림길

틀린 지점은 이차방정식을 푸는 과정이 아니었다. 로그를 합치기 전에 진수의 조건을 적지 않은 것이 최초의 어긋남이었다. 두 로그가 동시에 정의되려면

x−1>0, x−3>0

이어야 하므로 실제 정의역은 x>3이다. 그런데 학생은 일반적인 이차방정식의 두 근을 그대로 답으로 옮겼다. x=2−√3은 약 0.27이므로 첫 번째 진수는 양수일 수 있어도 x−3은 음수다. 따라서 로그식에 대입할 수 없는 값이다.

오답을 역으로 추적하자 ‘근의 공식’이 아니라 ‘정의역을 표시하지 않은 첫 줄’에서 결론이 달라졌다는 사실이 드러났다. 여러 검산법을 추가하지 않고, 식 옆에 정의조건을 먼저 남기는 방식으로 고쳤다. 범어동과외 학습 상담에서 이 학생의 풀이를 볼 때도 계산량보다 후보를 허용하는 범위를 먼저 확인하도록 지도할 수 있는 사례였다.

일반 구간과 경계 밖을 분리하다

학생은 같은 문제를 다시 쓰면서 풀이 순서를 바꾸었다.

• 정의조건: x>3
• 로그의 곱셈법칙 적용: log₂((x−1)(x−3))=1
• 밑이 2이므로 (x−1)(x−3)=2
• 근 계산 후 x>3인 값만 선택

두 근 중 2+√3은 3보다 크고, 2−√3은 3보다 작으므로 최종 해는 x=2+√3이다. 특히 x=3은 경계값처럼 보이지만 두 번째 로그의 진수가 0이 되어 정의되지 않는다. 경계에서는 등호를 붙일 수 없다는 점까지 식 옆에 표시했다.

100분 실전 세트에서는 모든 줄을 다시 계산하지 않고, 위험한 한 줄인 ‘정의역과 후보근의 비교’만 확인했다. 풀이 시간이 줄어도 정의조건을 생략하지 않는 것이 이 문항의 핵심 행동이었다. 유형명을 가린 채 다시 보았을 때도 학생은 이를 단순한 이차방정식이 아니라 ‘로그의 진수 조건이 후보를 거르는 문제’라고 설명했다.

조건을 바꿔도 남은 판단

독립 적용에서는 밑과 진수를 바꾼 문제를 제시했다.

log₃(x+1)+log₃(x−2)=2

이번에는 이전 문제의 숫자를 기억해 답할 수 없도록 정의조건부터 새로 찾게 했다. x+1>0과 x−2>0을 동시에 만족해야 하므로 x>2이다. 따라서

(x+1)(x−2)=9, 즉 x²−x−11=0

이 되고, 후보는 (1+3√5)/2, (1−3√5)/2이다. 첫 번째 값은 2보다 크지만 두 번째 값은 정의역 밖이므로 제거된다.

학생은 이번에는 별도의 힌트 없이 ‘먼저 x>2를 적고, 그 뒤에 후보를 비교해야 한다’고 첫 식의 근거를 말했다. 그래프 관점에서도 y=log₃(x+1)+log₃(x−2)의 그래프는 x=2의 오른쪽에서만 그려지며, 계산으로 얻은 음의 근은 그래프에 나타날 수 없음을 대조했다. 마지막으로 선택한 근을 원래 로그식에 대입해 양의 진수와 등식 성립을 확인했다.

짧아진 제한시간의 마지막 확인

시간 제한을 절반으로 줄인 마지막 문항에서도 학생은 전체 풀이를 처음부터 재현하지 않았다. 대신 사용한 조건인 x+1>0, x−2>0에 동그라미를 치고, 선택한 근이 x>2인지 확인한 뒤 원식의 두 진수가 양수인지 점검했다. 그래프의 존재 구간과 계산 결과가 충돌하지 않는지도 스스로 물었다.

이 검증에서 유지된 것은 정답을 다시 계산하는 습관이 아니라, 결론을 만든 조건으로 되돌아가는 판단이었다. 대구고3수학과외에서 로그방정식을 다룰 때도 후보근을 모두 믿지 않고 정의역·경계·원식 대입의 순서로 확인하면, 표현이 달라진 문제에서도 같은 판단을 이어 갈 수 있다.