매호동 중1수학과외

부호 하나를 놓친 정수의 곱셈, 식의 흐름으로 다시 확인하기

매호중학교가 포함된 매호동 생활권에서 중1 수학 풀이를 살펴보던 중, 학생이 정수의 곱셈에서 계산 결과보다 앞선 판단에서 자주 흔들리는 장면이 보였다. 캐슬골드파크와 대구광역시립수성도서관 인근 생활권에서 접하는 문제들도 겉모양은 달랐지만, 핵심은 음수와 양수의 위치를 정확히 읽고 곱셈 부호를 결정하는 일이었다. 매호동과외 수업에서는 풀이를 대신 완성하기보다 학생이 실제로 적은 한 줄을 기준으로 오류가 시작된 지점을 되짚었다.

답보다 먼저 확인해야 했던 한 줄

문제는 다음과 같았다.

□ × (-4) = 20에서 빈칸에 들어갈 수를 구하고, (-3) × □ = -18의 빈칸도 구하여 두 수의 위치를 비교하시오.

학생은 첫 식에서 빈칸에 5를 적은 뒤, 두 번째 식에서는 “음수와 음수를 곱하면 양수”라고 생각하여 6을 적었다. 계산 결과만 보면 두 번째 식은 바로 어긋났지만, 더 이른 판단은 두 번째 식의 빈칸이 음수여야 하는지 확인하지 않은 채 숫자 6부터 쓴 것이었다. 학생의 공책에는 (-3) × 6 = -18이 아니라 부호를 생략한 채 “3×6=18”이라고 적혀 있었다.

학생에게 곱셈을 다시 하라고 하지 않고, 먼저 원래 등식의 두 수를 그대로 읽게 했다. (-3)은 음수이고 결과 -18도 음수이므로, 곱해지는 다른 수는 양수여야 한다. 따라서 빈칸은 6이다. 학생은 이번에는 “음수와 양수를 곱하면 음수”라고 옆에 적고, (-3) × 6 = -18을 완성했다. 처음에 적었던 6이라는 숫자는 유지하면서, 그 숫자 앞에 필요한 부호와 그 이유를 바로잡은 것이다.

가려진 중간식을 원래 조건에 대입하다

다음 문제에서는 중간 단계가 일부 가려져 있었다.

(-7) × □ = □, 결과의 절댓값은 35이며 결과는 음수이다.

학생은 앞의 예제 순서를 떠올려 빈칸에 5를 먼저 적었다. 그러나 두 번째 빈칸에는 부호를 쓰지 않고 35만 적으려 했다. 이때 식 전체를 한 번에 계산하지 않고, 첫 번째 빈칸의 수와 두 번째 빈칸의 결과를 나누어 확인했다. (-7)은 음수이고 결과도 음수이므로 첫 번째 빈칸은 양수여야 한다. 절댓값이 35이므로 그 수는 5이고, 실제 결과는 (-7) × 5 = -35이다.

학생은 가려진 식을 복원한 뒤 원래 조건과 대조했다. “결과의 절댓값은 35”는 맞고, “결과는 음수”도 -35로 맞았다. 35만 적었을 때는 수의 크기만 맞았을 뿐 결과의 위치와 부호를 놓친다는 점이 드러났다.

식이 아닌 상황으로 바꾸어 부호를 선택하기

같은 개념을 숫자만 바꾼 식으로 반복하지 않기 위해 문제의 모양을 온도 변화로 바꾸었다.

현재 온도에서 매시간 3도씩 내려간 상황이 4시간 이어졌다. 전체 온도 변화량을 정수의 곱셈으로 나타내고, 변화의 방향을 설명하시오.

학생은 “4×3=12”라고 먼저 썼다가, 수직선을 그리고 시작점에서 왼쪽으로 네 번 이동했다. 내려가는 방향은 음수이므로 한 시간의 변화량은 -3, 시간은 4이다. 따라서 식은 4 × (-3) = -12가 된다. 수직선에서 출발점보다 왼쪽에 위치하므로 결과가 음수라는 설명도 덧붙였다. 이어서 “영하 2도에서 같은 변화가 일어나면 최종 온도는?”이라는 질문에는 정수의 곱셈 결과 -12와 시작 위치 -2를 구분하여, 변화량은 -12라고 답했다. 곱셈으로 구하는 값과 현재 위치를 섞지 않은 것이다.

매호동중1수학과외에서는 이 장면을 통해 식의 숫자만 외우지 않고, 부호가 나타내는 방향과 수의 위치를 함께 읽도록 했다. 학생은 앞선 오답을 다시 보며 “곱하기 전에 두 수의 부호와 결과의 부호가 서로 맞는지 확인해야 한다”고 자신의 말로 정리했다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

검증 문제는 다음과 같았다.

□ × (-8) = 40에서 빈칸의 수를 구하고, 그 수의 부호가 왜 양수인지 설명하시오.

이번에는 별도의 표시나 질문 없이 학생이 풀이를 시작했다. 결과 40은 양수이고 한 수가 음수이므로 다른 수는 양수여야 한다고 먼저 적었다. 40을 만들기 위해 8에 5를 곱해야 하므로 빈칸은 5라고 썼다. 이어서 5 × (-8) = -40이 되어 원래 식의 순서와 맞지 않는다고 잠시 멈춘 뒤, 문제의 식이 □ × (-8) = 40임을 다시 읽었다. 양수와 음수의 곱은 음수이므로 이 식에서 빈칸은 5가 될 수 없다는 점을 발견하고, 빈칸은 -5라고 수정했다.

학생은 (-5) × (-8) = 40으로 검산했다. 두 음수의 곱이라 결과가 양수이고, 5×8=40이므로 조건을 모두 만족한다고 설명했다. 숫자만 찾아 적지 않고 식의 순서, 두 수의 부호, 결과의 부호를 차례로 확인한 독립 풀이였다.

• 두 수의 부호를 먼저 읽는다.
• 곱의 부호가 조건과 맞는지 판단한다.
• 곱의 크기를 계산한 뒤 원래 식에 대입한다.
• 수직선이나 온도 상황으로 결과의 방향을 다시 확인한다.