개신동 중3수학과외

개신동 생활권에서 산점도를 읽는 한 가지 기준

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학생이 처음 적은 판단

학교 프린트에는 ‘하루 운동 시간과 달리기 기록’의 관계를 나타낸 산점도가 있었습니다. 가로축은 운동 시간(분), 세로축은 달리기 기록(초)으로 표시되어 있었고, 대부분의 점은 다음과 같이 모여 있었습니다.

• (10, 92), (15, 88), (20, 84), (25, 81), (30, 78)
• (35, 75), (40, 73), (45, 70)
• 그런데 (5, 45)라는 점 하나가 따로 떨어져 있었습니다.

학생은 그래프를 보자마자 “왼쪽 아래에 점이 있으니 운동 시간이 늘수록 기록도 좋아지는 양의 상관관계”라고 적었습니다. 이어서 “따로 떨어진 점도 같은 방향에 있으므로 전체 관계를 강하게 보여 준다”고 판단했습니다. 계산을 틀린 것은 아니었지만, 아직 축의 의미와 전체 점의 흐름을 확인하지 않은 상태에서 눈에 띄는 점의 위치와 예제에서 보았던 모양을 기준으로 결론을 낸 것이 문제였습니다.

산점도에서는 먼저 가로축·세로축이 무엇을 뜻하는지 읽고, 한 점이 아니라 전체 점이 어느 방향으로 모이는지 확인한다.

판단이 어긋난 첫 지점만 되돌리기

학생이 처음 잘못 선택한 행동은 ‘떨어진 점의 방향만 보고 관계를 단정한 것’이었습니다. 그래서 풀이 전체를 다시 쓰게 하지 않고, 판단 직전에 기준 하나만 넣었습니다. 바로 축의 의미를 말한 뒤, 따로 떨어진 점을 잠시 제외하고 나머지 점의 흐름을 읽는 것입니다.

가로축은 운동 시간, 세로축은 기록 시간이므로 운동 시간이 커질 때 기록 시간이 작아지는지를 살펴야 합니다. (10, 92)에서 (45, 70)으로 이어지는 대부분의 점은 오른쪽으로 갈수록 아래로 내려갑니다. 따라서 중심적인 점들의 관계는 음의 상관관계입니다. (5, 45)는 운동 시간이 짧은데 기록 시간이 지나치게 작은 점이라 전체 흐름에서 벗어난 이상치입니다. 이 점 하나만 보고 양의 상관관계라고 말할 수 없으며, 오히려 이상치가 전체 관계를 다르게 보이게 할 수 있음을 확인했습니다.

학생은 자신의 프린트에 “축 확인 → 전체 점의 흐름 → 떨어진 점의 영향”이라는 한 줄을 적었습니다. 이미 적어 둔 좌표와 나머지 점의 관찰은 그대로 유지하고, 처음 결론을 내린 순서만 바로잡았습니다.

표현을 바꾼 산점도에 적용하기

다음 문제에서는 좌표를 직접 나열하지 않고, 아래와 같은 설명으로 제시했습니다. 세로축은 하루 독서 시간(분), 가로축은 국어 평가 점수입니다. 점 11개 중 10개는 점수가 55점에서 90점으로 높아질수록 독서 시간이 대체로 15분에서 65분까지 늘어나는 띠 모양으로 모여 있습니다. 단, 점수 58점에서 독서 시간 120분인 점 하나가 위쪽에 떨어져 있습니다.

질문은 “이상치까지 포함한 그림만 보고 독서 시간과 점수의 관계를 강한 양의 상관관계라고 단정해도 되는가?”였습니다. 이번에는 학생이 축의 순서가 앞 문제와 바뀐 것을 먼저 확인했습니다. 이어서 모여 있는 열 점의 흐름은 오른쪽 위 방향이므로 양의 상관관계로 볼 수 있지만, 120분의 점은 전체 띠에서 멀리 떨어져 있어 관계의 정도를 과장할 수 있다고 설명했습니다. 즉, 이상치를 무시하라는 뜻이 아니라, 이상치가 전체 분포와 같은 흐름에 속하는지 따로 판단해야 한다는 결론입니다.

일주일 뒤, 힌트 없이 확인한 장면

일주일 후에는 개신동중3수학과외 시간에 새 산점도를 제시하고 아무 기준도 말하지 않았습니다. 가로축은 수면 시간, 세로축은 지각 횟수였고, 대부분의 점은 수면 시간이 5시간에서 8시간으로 늘어날수록 지각 횟수가 5회에서 1회로 줄어드는 모양이었습니다. 그런데 (9, 7)이라는 점 하나가 따로 표시되어 있었습니다.

학생은 먼저 “가로축은 수면 시간, 세로축은 지각 횟수”라고 읽었습니다. 그다음 중심 점들의 방향이 오른쪽 아래이므로 음의 상관관계라고 말했고, (9, 7)은 그 흐름에서 벗어난 이상치라서 전체 관계의 모습을 흐리거나 약하게 보이게 할 수 있다고 설명했습니다. 마지막으로 해당 점을 포함한 전체 그림과 중심 점들만의 흐름이 다르다는 점을 근거로 들었습니다.

이제 학생은 예제의 겉모양이나 한 점에 기대지 않고, 새 산점도에서도 축의 의미와 전체 분포를 스스로 확인했습니다. 이것이 산점도에서 이상치의 영향을 판단하는 독립적인 검증입니다.