개신동 중1수학과외

개신동 중1수학과외에서 다각형 외각의 합을 다시 세운 풀이

학생은 오각형의 각 꼭짓점에서 한 방향으로 외각을 표시하고, 각 외각의 크기를 차례로 적어 합을 구하는 문제를 풀고 있었다.

답보다 먼저 확인해야 했던 한 줄

문제에는 오각형의 외각 네 개가 70°, 80°, 65°, 75°로 주어지고 나머지 한 외각을 구하라고 되어 있었다. 학생은 곧바로

70+80+65+75=290, 360-290=70

이라고 적었다. 계산 자체는 맞았지만, 풀이를 시작하기 전부터 외각의 합을 360°로 사용할 근거를 문제 그림에서 확인하지 않았다. 학생은 예전에 풀었던 오각형 예제의 순서를 기억해 숫자만 대입하고 있었고, 각 꼭짓점에서 같은 방향으로 외각을 잡았는지 표시하지 않은 상태였다. 결과가 우연히 맞을 수 있어도, 그림이 회전되거나 외각 표시 방향이 달라지면 다시 판단하기 어려운 출발이었다.

교정은 계산을 지우는 것이 아니라 첫 표시를 보완하는 방식으로 이루어졌다. 학생은 다각형의 한 꼭짓점에서 출발해 변을 따라 이동하는 방향을 화살표로 나타내고, 각 꼭짓점에서 다음 변으로 꺾이는 바깥쪽 각을 하나씩 표시했다. 이어서 오각형을 한 바퀴 돌아 출발 방향으로 돌아오면 방향이 정확히 한 바퀴 바뀐다는 점을 그림 옆에 외각 전체의 합은 360°라고 적었다. 그 뒤 주어진 네 각의 합을 계산하고 나머지 외각을 구했다.

• 주어진 외각의 합: 70°+80°+65°+75°=290°
• 구할 외각: 360°-290°=70°

이때 학생은 “오각형이라서 무조건 360°를 쓰는 것이 아니라, 각 꼭짓점에서 한 방향으로 외각을 하나씩 잡아 다각형을 한 바퀴 돌기 때문에 360°가 된다”고 풀이 이유를 말로 덧붙였다. 단순히 예제의 식을 기억하는 것과 그림의 조건에서 합의 근거를 확인하는 것은 다르다는 점이 드러났다.

도형의 방향과 질문이 바뀐 문제

다음 문제에서는 같은 오각형을 시계 방향으로 회전한 그림이 제시되었다. 외각 세 개의 크기가 92°, 68°, 74°로 표시되어 있고, 나머지 두 외각의 합을 묻는 형태였다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 도형이 기울어져 있었고, 조건도 “표시된 두 각 중 큰 각을 구하라”가 아니라 “표시되지 않은 외각들의 합을 구하라”로 바뀌어 있었다.

학생은 잠시 그림의 위치를 살피다가 회전된 방향 자체는 외각의 합에 영향을 주지 않는다는 점을 확인했다. 다만 표시된 각이 모두 같은 방향의 외각인지 먼저 화살표를 따라 점검했다. 그 후

전체 외각의 합 360°에서 표시된 외각의 합을 뺀다.

라고 질문을 자신의 말로 바꾸어 적었다.

• 표시된 외각의 합: 92°+68°+74°=234°
• 표시되지 않은 두 외각의 합: 360°-234°=126°

이번에는 각각의 외각을 따로 구하려 하지 않고, 문제에서 요구한 것이 두 각의 합이라는 사실에 맞춰 바로 전체에서 표시된 부분을 뺐다. 도형의 회전과 조건의 제시 순서가 달라져도, 외각을 한 방향으로 연결하고 전체 합과 주어진 부분을 구별하는 과정은 그대로 유지했다.

힌트 없이 다시 세운 최종 검증

마지막 확인에서는 풀이 예시와 앞서 적은 식을 가린 뒤, 새로운 육각형 그림을 제시했다. 외각 다섯 개가 55°, 63°, 71°, 82°, 49°로 표시되고 한 외각을 구하는 문제였다. 학생은 먼저 꼭짓점마다 외각 표시를 직접 하고, 변을 따라 한 바퀴 도는 방향을 화살표로 나타냈다.

학생은 “다각형의 변이 여섯 개여도 외각을 한 바퀴 합한 값은 360°이다. 따라서 표시된 각을 먼저 더하고 전체에서 빼면 된다”고 설명했다.

• 55°+63°+71°+82°+49°=320°
• 360°-320°=40°

그 다음 구한 40°를 표시되지 않은 꼭짓점에 직접 써 넣고, 표시된 다섯 각과 함께 다시 더했다.

55°+63°+71°+82°+49°+40°=360°

검산까지 마친 학생은 도형의 크기나 회전 방향, 조건이 제시된 순서가 달라도 먼저 외각의 방향을 확인한 뒤 전체 합 360°와 주어진 각을 나누어 보아야 한다고 스스로 정리했다. 개신동과외 수업에서 다룬 이 과정은 개신동중1수학과외에서도 같은 개념을 새로운 그림과 질문에 적용할 때 기준이 되는 풀이 기록으로 남겼다.