개신동 중1수학과외

개신동 중1수학과외에서 다각형 외각의 합을 다시 세운 풀이

용두암현대1차아파트와 내덕시영아파트가 있는 생활권, 그리고 산남중학교·원평중학교·남성중학교·세광중학교·수곡중학교가 포함된 개신동에서 중1수학과외를 진행하며 다각형의 외각을 다룬 한 풀이를 살펴보았다. 학생은 오각형의 각 꼭짓점에서 한 방향으로 외각을 표시하고, 각 외각의 크기를 차례로 적어 합을 구하는 문제를 풀고 있었다.

답보다 먼저 확인해야 했던 한 줄

문제에는 오각형의 외각 네 개가 70°, 80°, 65°, 75°로 주어지고 나머지 한 외각을 구하라고 되어 있었다. 학생은 곧바로

70+80+65+75=290, 360-290=70

이라고 적었다. 계산 자체는 맞았지만, 풀이를 시작하기 전부터 외각의 합을 360°로 사용할 근거를 문제 그림에서 확인하지 않았다. 학생은 예전에 풀었던 오각형 예제의 순서를 기억해 숫자만 대입하고 있었고, 각 꼭짓점에서 같은 방향으로 외각을 잡았는지 표시하지 않은 상태였다. 결과가 우연히 맞을 수 있어도, 그림이 회전되거나 외각 표시 방향이 달라지면 다시 판단하기 어려운 출발이었다.

교정은 계산을 지우는 것이 아니라 첫 표시를 보완하는 방식으로 이루어졌다. 학생은 다각형의 한 꼭짓점에서 출발해 변을 따라 이동하는 방향을 화살표로 나타내고, 각 꼭짓점에서 다음 변으로 꺾이는 바깥쪽 각을 하나씩 표시했다. 이어서 오각형을 한 바퀴 돌아 출발 방향으로 돌아오면 방향이 정확히 한 바퀴 바뀐다는 점을 그림 옆에 외각 전체의 합은 360°라고 적었다. 그 뒤 주어진 네 각의 합을 계산하고 나머지 외각을 구했다.

주어진 외각의 합: 70°+80°+65°+75°=290°
구할 외각: 360°-290°=70°

이때 학생은 “오각형이라서 무조건 360°를 쓰는 것이 아니라, 각 꼭짓점에서 한 방향으로 외각을 하나씩 잡아 다각형을 한 바퀴 돌기 때문에 360°가 된다”고 풀이 이유를 말로 덧붙였다. 단순히 예제의 식을 기억하는 것과 그림의 조건에서 합의 근거를 확인하는 것은 다르다는 점이 드러났다.

도형의 방향과 질문이 바뀐 문제

다음 문제에서는 같은 오각형을 시계 방향으로 회전한 그림이 제시되었다. 외각 세 개의 크기가 92°, 68°, 74°로 표시되어 있고, 나머지 두 외각의 합을 묻는 형태였다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 도형이 기울어져 있었고, 조건도 “표시된 두 각 중 큰 각을 구하라”가 아니라 “표시되지 않은 외각들의 합을 구하라”로 바뀌어 있었다.

학생은 잠시 그림의 위치를 살피다가 회전된 방향 자체는 외각의 합에 영향을 주지 않는다는 점을 확인했다. 다만 표시된 각이 모두 같은 방향의 외각인지 먼저 화살표를 따라 점검했다. 그 후

전체 외각의 합 360°에서 표시된 외각의 합을 뺀다.

라고 질문을 자신의 말로 바꾸어 적었다.

표시된 외각의 합: 92°+68°+74°=234°
표시되지 않은 두 외각의 합: 360°-234°=126°

이번에는 각각의 외각을 따로 구하려 하지 않고, 문제에서 요구한 것이 두 각의 합이라는 사실에 맞춰 바로 전체에서 표시된 부분을 뺐다. 도형의 회전과 조건의 제시 순서가 달라져도, 외각을 한 방향으로 연결하고 전체 합과 주어진 부분을 구별하는 과정은 그대로 유지했다.

힌트 없이 다시 세운 최종 검증

마지막 확인에서는 풀이 예시와 앞서 적은 식을 가린 뒤, 새로운 육각형 그림을 제시했다. 외각 다섯 개가 55°, 63°, 71°, 82°, 49°로 표시되고 한 외각을 구하는 문제였다. 학생은 먼저 꼭짓점마다 외각 표시를 직접 하고, 변을 따라 한 바퀴 도는 방향을 화살표로 나타냈다.

학생은 “다각형의 변이 여섯 개여도 외각을 한 바퀴 합한 값은 360°이다. 따라서 표시된 각을 먼저 더하고 전체에서 빼면 된다”고 설명했다.

55°+63°+71°+82°+49°=320°
360°-320°=40°

그 다음 구한 40°를 표시되지 않은 꼭짓점에 직접 써 넣고, 표시된 다섯 각과 함께 다시 더했다.

55°+63°+71°+82°+49°+40°=360°

검산까지 마친 학생은 도형의 크기나 회전 방향, 조건이 제시된 순서가 달라도 먼저 외각의 방향을 확인한 뒤 전체 합 360°와 주어진 각을 나누어 보아야 한다고 스스로 정리했다. 개신동과외 수업에서 다룬 이 과정은 개신동중1수학과외에서도 같은 개념을 새로운 그림과 질문에 적용할 때 기준이 되는 풀이 기록으로 남겼다.

개신동 중1수학과외 학부모 후기

주말 아침에 간식을 가져다주려고 방에 들어갔다가 그래프 문제를 보고 잠깐 멈췄어요. 아이가 그래프 위에 교점 위치만 따로 표시해 두었더라고요. 계산한 결과를 그냥 적어 둔 게 아니라, 실제 그래프에서 그 위치가 맞는지 확인하려고 다시 표시한 모습이었어요. 예전에는 처음 고른 방법이나 계산한 이유를 따로 남겨 두는 일이 없었거든요. 그런데 개신동 수학과외를 알아보던 중 보게 된 이번 문제에서는 계산한 교점을 그래프에 옮겨 놓고 식에서 나온 결과와 위치가 맞는지 살펴보고 있었습니다. 새 단어 목록을 받아든 뒤에도 같은 방식으로 계산한 교점을 그래프에 다시 표시해 두었어요. 그리고 나중에 다시 확인할 부분도 하나 정해 둔 흔적이 보였고, 단순히 답만 적어 둔 것과는 달리 계산 결과를 그림 속 위치까지 연결해 보고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 결과를 가족에게 보여준 뒤 책과 프린트를 치우려던 아이가 종이를 다시 펼치더라고요. 두 풀이를 좌우에 나란히 적어 놓고, 계산 과정에서 처음 달라지는 단계에 작은 표시를 해두고 있었습니다. 예전에는 복습할 때 어디에서 막혔는지 한 부분으로 좁히지 못하고 풀이 전체만 다시 보곤 했거든요. 개신동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 저는 아이가 이렇게까지 비교해 볼 거라고는 생각하지 못했어요. 그런데 이번에는 답이 맞았는지만 확인하지 않고 두 과정의 차이가 시작되는 곳을 따로 살폈습니다. 표시 하나가 풀이 중간에 또렷하게 남아 있어서 어떤 부분을 보고 있었는지 바로 알 수 있더라고요. 새 수행평가 대본을 받아든 뒤에도 종이에 적힌 두 풀이를 먼저 나란히 놓고, 달라진 첫 단계를 찾아 표시했습니다. 그 옆에는 다음 공부에서 이어 볼 위치까지 짧게 체크해 두었고요. અગાઉ.

★★★★★학부모 후기

새 학기 첫 수학시험을 앞둔 주였는데, 아이 시험지 한쪽에 번호가 몇 개만 따로 적혀 있더라고요. 처음엔 틀린 문제를 표시해 둔 줄 알았는데, 마지막에 다시 계산해 볼 문제만 모아 둔 거였어요. 예예전에는 공부하면서 찜찜한 부분이 있어도 따로 남겨 두는 일이 거의 없었거든요. 개신동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 부분은 눈여겨보지 못했는데, 이번에는 답을 바로 확인하기보다 검산할 번호부터 정리해 둔 모습이 낯설었어요. 수학 수업이 없는 평일 저녁에도 문제를 풀고 나서 같은 식으로 마지막에 확인할 번호를 따로 모았고, 계산해 본 흔적을 지우지 않은 채 책을 덮어 두었어요. 시험지에 남은 건 문제 전체가 아니라, 다시 살펴볼 번호 몇 개였습니다.

★★★★★학부모 후기

개신동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 숙제할 때 답지부터 찾는 일이 조금씩 줄었습니다. 컨디션이 좋지 않은 날에는 선생님께서 문제 수를 조절하고 핵심만 짚어 주셔서, 아이도 무리하지 않고 답지를 덮은 채 다시 풀어 보려 했습니다. 이제는 모르는 부분을 설명해 달라고 먼저 말하는 모습이 보여 성적보다 수업을 대하는 태도의 변화가 반갑습니다.

★★★★☆학부모 후기

시험을 보고 돌아온 날, 아이가 개신동 수학 과외에서 헷갈렸던 문제를 선생님께 먼저 물어보고 싶다며 풀이를 다시 펼쳐 보였습니다. 예전에는 답이 맞는지만 급하게 확인했는데, 선생님은 틀린 문제를 처음 어긋난 부분부터 함께 찾고 그날 복습할 내용과 다음에 확인할 내용을 나누어 안내해 주셨습니다. 수업 뒤에는 배운 내용을 제게 먼저 설명하는 모습도 보여 조금씩 달라지고 있음을 느꼈습니다.

★★★★★학부모 후기

개신동에서 수학 수업을 받기 시작한 뒤, 학원 일정이 늦게 끝난 주말에도 아이가 틀린 문제를 숨기지 않고 다시 펼쳐 보였습니다. 선생님은 다음 수업까지 할 일을 짧게 나눠 무리하지 않도록 이끌었고, 모르는 부분도 편하게 말할 수 있게 기다려 주셨습니다. 계획이 밀려도 스스로 다시 조정해 이어가는 모습이 자연스러워졌습니다.

★★★★★학부모 후기