개신동 중2수학과외

개신동 중2수학과외에서 확인한 경우의 수 풀이 장면

개신동과외 수업에서 학생은 경우의 수 문제를 시간 안에 해결하려고 연필로 가능한 결과를 빠르게 적었다. 문제는 세 종류의 음료와 두 종류의 빵 중 하나씩 고르는 상황이었다. 학생은 음료를 먼저 적은 뒤 빵을 붙이는 방식으로 표를 만들었지만, 예제에서 보았던 순서를 그대로 따라가며 초코빵-딸기음료와 딸기음료-초코빵을 서로 다른 경우처럼 표시했다.

학생은 적은 목록에 동그라미를 치며 개수를 세고, 마지막에 “모두 12가지”라고 썼다. 그러나 실제 선택은 음료와 빵의 조합이므로 순서를 바꾸어 적었다고 새로운 결과가 생기지는 않았다. 풀이가 어긋난 최초의 판단은 계산 실수가 아니라, 순서가 다른 기록을 별개의 경우로 인정한 것이었다. 이 판단이 그대로 유지되면서 같은 조합이 두 번씩 목록에 들어갔다.

중복이 생긴 한 줄을 다시 읽다

교사는 이미 맞게 적은 음료와 빵의 종류는 지우지 않고, 학생이 만든 목록 옆에 “결과를 구분하는 기준은 무엇인가?”라고 표시했다. 학생은 두 목록을 비교하며 음료와 빵의 위치만 바뀌었고 실제로 선택된 물건은 같다는 점을 확인했다. 이어 각 결과를 ‘음료 1개와 빵 1개’라는 한 묶음으로 읽도록 기준을 바꾸었다.

순서를 바꿔 적었는지가 아니라, 선택된 두 물건의 조합이 달라졌는지를 먼저 확인한다.

그 뒤 학생은 음료를 하나 고를 때마다 가능한 빵을 옆에 붙였다. 딸기음료에는 초코빵과 크림빵, 포도음료에도 두 빵, 사과음료에도 두 빵을 대응시켰다. 같은 결과를 반대 순서로 다시 적지 않았고, 3개의 음료 묶음 안에 각각 2개의 빵 선택을 넣어 전체를 6가지로 정리했다. 이미 올바르게 적어 둔 종류와 표의 순서는 유지하면서, 중복을 판단하는 기준만 바로잡은 것이다.

표가 아닌 질문으로 바꾼 독립 적용

개신동중2수학과외 수업에서는 같은 개념을 숫자만 바꾸지 않고 표현을 바꾸어 확인했다. 이번에는 네 자리의 색 카드 중 두 장을 뽑아 팀 깃발을 만드는 상황을 제시했다. 질문도 “가능한 깃발은 몇 개인가?”가 아니라 “서로 다른 색 두 장을 고르지 못하는 경우는 몇 개인가?”로 바꾸었다. 학생은 먼저 카드 두 장을 뽑는 전체 경우를 무작정 나열하지 않고, 원하는 사건을 직접 세기보다 그 반대인 ‘같은 색 두 장을 고르는 경우’를 세어 빼는 방향을 선택했다.

학생은 카드의 색을 표의 행으로 나누고, 각 색에서 같은 색 카드 두 장을 고르는 경우와 색이 다른 두 장을 고르는 경우를 구별했다. 이어 “두 장의 위치를 바꾸어 적어도 깃발의 색 조합은 같으므로 한 번만 센다”고 옆에 적었다. 질문의 방향이 바뀌었지만, 결과를 구분하는 기준과 중복을 제거하는 판단은 앞의 풀이와 같았다.

• 전체 결과와 조건에 맞지 않는 결과를 먼저 구분한다.
• 같은 선택을 순서만 바꾸어 적은 것은 한 경우로 묶는다.
• 표의 한 칸이 실제로 다른 선택을 뜻하는지 확인한 뒤 개수를 센다.

힌트 없이 다시 세운 첫 판단

한 주 뒤, 교사는 별도의 설명 없이 “세 가지 모양의 스티커 중 서로 다른 두 모양을 골라 가방에 붙일 때 가능한 조합은 몇 가지인가?”라는 문제를 건넸다. 학생은 곧바로 “가방에 붙이는 위치의 순서가 문제에서 구분되지 않으므로, 별 모양과 하트 모양은 한 경우로 세어야 한다”고 말했다. 그리고 별-하트, 별-원, 하트-원만 적은 뒤, 하트-별이나 원-별을 다시 쓰지 않았다.

학생은 답을 적은 후에도 “내가 적은 각각은 선택된 두 모양 자체가 다르고, 순서만 바꾼 목록은 없다”고 검산했다. 이어 전체 세 가지 중 두 가지를 고르는 결과를 빠짐없이 적었는지 확인하며 세 목록과 비교했다. 이번에는 도움 없이 첫 판단을 세우고, 왜 중복을 제외했는지와 목록이 빠지지 않았다는 근거까지 스스로 설명했다. 용두암현대1차아파트와 내덕시영아파트가 있는 생활권, 내덕칠거리 인근의 학교들이 포함된 개신동 생활권에서도 이처럼 경우를 세는 문제는 답보다 먼저 ‘무엇을 하나의 경우로 볼지’를 정하는 장면에서 풀이가 갈린다.