쌍용동 중2수학과외

그림보다 먼저 확인한 직각삼각형 합동조건

쌍용동의 광명아파트와 뜨란채아파트가 있는 생활권, 천안쌍용중학교와 천안봉서중학교가 포함된 주변에서 중2수학과외 수업을 진행하던 중, 학생이 직각삼각형의 합동조건을 판단하는 한 문제를 풀었다. 문제에는 두 직각삼각형이 나란히 그려져 있었고, 일부 변과 각에 같은 표시가 주어져 있었다.

학생은 먼저 그림을 바라보며 두 삼각형의 모양을 비교했다. 왼쪽 삼각형이 오른쪽 삼각형보다 조금 길어 보이자, “이 변이 더 긴 것 같다”고 연필로 해당 변을 가볍게 표시했다. 이어 그림에서 비슷하게 보이는 각 두 곳에 동그라미를 치고, 표시가 없는 변의 길이를 서로 같다고 적었다. 문제에 실제로 주어진 표시와 자신이 눈으로 추측한 내용을 한 줄에 섞은 뒤, 합동조건을 고르려 했다.

계산이나 조건 정리를 시작하기 전에 이미 기준이 어긋난 지점은 그림의 크기와 모양을 보고 변과 각이 같다고 선택한 것이었다. 학생은 이후 직각 표시와 같은 변 표시를 확인했지만, 처음에 적은 추측을 지우지 않아 어떤 조건이 문제에서 주어진 것인지 구분하지 못했다. 답이 맞지 않은 원인은 마지막 조건을 잘못 적용한 데 있지 않고, 첫 판단에서 그림의 시각적 모양을 근거로 삼은 데 있었다.

문제에 적힌 표시만 조건으로 남기기

교정은 한 가지 행동만 바꾸는 방식으로 진행했다. 학생이 새 문제를 받으면 그림을 보기 전에 문제에 표시된 것만 따로 옮겨 적도록 했다. 직각 표시에는 ‘직각’, 같은 눈금이 있는 변에는 ‘같은 변’, 같은 호가 있는 각에는 ‘같은 각’이라고 짧게 적고, 표시가 없는 선분과 각은 계산 대상에서 보류했다.

“그림이 닮아 보이는지는 판단 근거가 아니고, 실제 표시된 조건만 합동조건을 고르는 재료야.”

같은 그림을 다시 본 학생은 두 삼각형의 직각 표시를 먼저 확인하고, 한 쌍의 변에 같은 눈금이 있다는 사실을 옮겨 적었다. 이어 주어진 각 표시가 어느 꼭짓점에 붙어 있는지 점 이름을 따라 확인했다. 길이를 재거나 모양을 비교하지 않고, 직각과 주어진 변·각이 어느 위치에 연결되는지만 살폈다. 이미 맞게 적어 둔 직각 표시와 점 이름은 유지하고, 그림을 보고 임의로 추가했던 길이 비교만 지웠다.

표현을 바꾼 독립 적용

다음 문제는 그림 대신 두 삼각형의 조건이 문장과 표로 제시되었다. 삼각형 ABC와 DEF에서 ∠B와 ∠E가 각각 직각이고, AB와 DE에 같은 표시가 있으며, ∠A와 ∠D가 같다고 적혀 있었다. 이번에는 조건의 제시 순서가 달랐고, 두 삼각형도 서로 반대 방향으로 그려져 있었다.

학생은 먼저 표의 행을 점검해 ‘B↔E’, ‘A↔D’를 대응점으로 연결했다. 그 결과 남은 점은 C↔F라고 적었다. 이어 AB와 DE가 대응변이고, 두 변이 각각 ∠A와 ∠D에 붙어 있다는 점을 확인했다. 직각이라는 사실만 보고 아무 변이나 선택하지 않고, 각과 변의 위치를 함께 살핀 것이다. 마지막으로 문제의 질문이 “합동인지 판단하고 대응하는 변을 쓰라”는 방향으로 바뀌어 있었기 때문에, 합동조건을 고른 뒤 AB에 대응하는 변을 DE로 작성했다.

• 문장에 실제로 주어진 직각 표시를 먼저 확인했다.
• 같은 표시가 붙은 변과 각의 점 이름을 연결했다.
• 표시가 없는 선분의 길이는 같다고 가정하지 않았다.
• 대응점을 정한 뒤 대응변을 순서대로 다시 읽었다.

힌트 없이 되돌아간 최종 검증

수업 끝에는 도움 없이 새로운 도형 문제가 제시되었다. 점 이름은 P, Q, R과 X, Y, Z로 바뀌었고, 조건도 “∠Q와 ∠Y는 직각, QR과 YZ에 같은 표시, ∠P와 ∠X에 같은 표시”처럼 순서가 달랐다. 학생은 그림의 방향이 서로 달라 보이는 것을 잠시 확인했지만, 곧바로 문제 옆에 ‘표시만 사용’이라고 적었다.

학생은 Q↔Y, P↔X를 먼저 정하고 R↔Z를 이어 썼다. 이어 QR과 YZ가 대응하고, ∠P와 ∠X가 각각 그 변과 연결된 각임을 설명하며 주어진 조건의 관계를 정리했다. “모양이 같아 보여서가 아니라, 직각 표시와 같은 변 표시, 같은 각 표시가 대응 위치에서 확인되므로 합동조건을 판단한다”고 자신의 첫 판단 이유를 말했다.

검산할 때에는 대응점을 다시 읽어 PQR의 순서와 XYZ의 순서가 서로 어긋나지 않는지 확인했다. 특히 QR을 XZ로 잘못 연결하지 않았는지 표시를 따라 되짚고, 각의 꼭짓점도 Q와 Y가 맞는지 점검했다. 끝까지 그림의 길이를 재지 않고 주어진 표시만으로 설명했으므로, 과거처럼 보이는 모양을 먼저 믿는 판단 없이 직각삼각형 합동조건을 스스로 재현한 장면이 확인되었다.

이처럼 쌍용동과외 수업에서는 도형을 빠르게 읽는 것보다 조건의 출처와 대응 위치를 먼저 확인하는 과정을 중심에 두었다. 쌍용동중2수학과외에서도 같은 개념을 문장, 표, 도형의 순서로 바꾸어 제시하면 학생이 한 번 맞힌 답보다 첫 판단과 검산 근거를 직접 말하는지를 확인할 수 있다.