쌍용동 고3수학과외

조건을 계산보다 먼저 읽는 매개변수 풀이

쌍용동 생활권에서 수능 매개변수 문항을 풀던 학생의 풀이에는 계산 능력보다 먼저 확인해야 할 부분이 있었다. 문제의 식을 보면 곧바로 근의 공식이나 판별식을 적용하려 했지만, 실제 정답을 가르는 것은 식 자체가 아니라 그 뒤에 붙은 제한조건이었다. 천안쌍용고등학교 인근 학습환경에서 진행한 풀이에서도 학생은 처음에 식을 전개한 뒤 후보를 찾으려 했다.

문제: 정수 매개변수 a에 대하여 방정식 x²-(a+3)x+2a=0의 두 근이 모두 구간 [1, 4]에 속할 때, 가능한 a의 값을 구하여라.

학생은 먼저 “이차방정식이므로 판별식을 계산하자”고 적었다. 그러나 이 식은 x²-(a+3)x+2a=(x-2)(x-a)로 정리되므로 두 근은 2와 a이다. 여기서 판별식의 양수 여부를 따지는 것보다 먼저 사용해야 할 조건은 매개변수의 정수 조건과 두 근이 [1, 4]에 들어간다는 범위 조건이다.

허용 후보를 만드는 조건과 풀이 근거를 나누다

최초의 어긋남은 식을 잘못 계산한 것이 아니었다. 학생은 근을 구한 뒤에도 정수 조건을 표시하지 않아, a를 실수 전체처럼 다루려 했다. 또 고정된 근 2만 확인하고 a가 구간에 들어가는지를 뒤늦게 살폈다. 이 순서라면 불필요하게 연속적인 값까지 검토하게 되고, 조건 하나가 누락된 문항에서는 허용되지 않는 값을 답에 남길 위험이 있다.

교정할 때는 풀이 전체를 다시 쓰지 않고 첫 줄 옆에 다음 두 문장만 적게 했다.

• 매개변수 조건: a는 정수
• 근의 범위 조건: 2와 a가 모두 [1, 4]에 포함

그다음 인수분해로 근이 2, a임을 확인했다. 2는 이미 [1, 4]에 들어 있으므로 실제 제한은 1≤a≤4이다. 정수 조건까지 적용하면 가능한 값은 1, 2, 3, 4이다. 학생은 후보를 오름차순으로 배열한 뒤, 각 후보가 왜 남는지 한 줄씩 기록했다. 이때 인수분해는 풀이의 근거이고, 정수·구간 조건은 후보를 남기는 기준이라는 점을 분리했다.

조건의 위치를 바꾼 문항에 다시 적용하기

같은 숫자를 반복하는 대신 조건의 표현을 바꾸었다. 새 문항은 다음과 같았다.

변형: a가 정수이고 방정식 x²-(a+5)x+4a=0의 두 근이 [2, 6]에 속할 때, 가능한 a를 구하여라.

이번 식은 (x-4)(x-a)=0이므로 근은 4와 a이다. 학생은 식을 읽은 직후 “정수, 두 근의 범위”를 먼저 표시했다. 4는 이미 [2, 6] 안에 있고, 나머지 근에 대해 2≤a≤6을 얻는다. 따라서 정수 후보는 2, 3, 4, 5, 6이다. 앞 문제의 숫자나 답을 기억해서 처리한 것이 아니라, 제한조건을 먼저 찾아 후보를 줄이는 구조를 새로 재현한 셈이다.

조건을 문제 뒤쪽에 배치하고 식의 계수를 바꾸었을 때도 학생은 제한어와 계산 근거를 한 칸에 섞지 않았다. 이는 천안쌍용고3수학과외에서 매개변수 문항을 다룰 때 강조하는 실전 습관과도 연결된다. 조건을 찾는 순간 후보의 범위가 정해지므로, 계산을 오래 하는 것보다 첫 표시가 정확해야 한다.

힌트 없이 남은 판단 확인

마지막에는 풀이 도움 없이 다음 문항을 제시하고 풀이 시간도 절반으로 줄였다.

확인 문제: 정수 a에 대해 x²-(a+7)x+6a=0의 두 근이 [3, 8]에 속할 때 가능한 a를 구하여라.

학생은 먼저 “정수 조건과 근의 구간을 표시한다”고 말한 뒤 (x-6)(x-a)=0을 확인했다. 고정된 근 6은 범위 안에 있으므로 3≤a≤8, 따라서 후보는 3부터 8까지의 정수라고 정리했다. 마지막 검산에서도 모든 식을 다시 계산하지 않고, 위험한 한 줄인 “6은 [3, 8]에 속하는가, a는 정수인가”만 원조건과 대조했다.

조건 하나를 빠뜨렸던 처음과 달리, 새 문제에서는 조건을 먼저 분류하고 그 조건이 후보 제거에 어떻게 쓰였는지 설명했다. 쌍용동과외에서 확인할 핵심도 바로 이 지점이다. 매개변수 문제의 답을 찾는 데 그치지 않고, 첫 식의 근거와 후보를 남긴 이유를 원래 조건까지 거슬러 말할 수 있어야 판단이 유지된다.