부대동 중3수학과외

그림에서 접점을 먼저 찾은 부대동 중3수학과외 기록

부대동과외 수업에서 단원평가 직전의 원의 성질 문제를 함께 살펴보았습니다. 천안부성중학교가 포함된 생활권에서 자주 볼 수 있는 도형 문제였지만, 이 문제의 핵심은 계산보다 원 밖의 한 점에서 그은 선이 실제로 접선인지 그림과 조건으로 판단하는 것이었습니다.

학생의 풀이 기록에 남은 첫 표시

원 O의 바깥에 점 P가 있고, P에서 원에 그은 두 선분 PA, PB가 있었습니다. A와 B는 각각 원 위의 점이며, 문제에는 “PA와 PB는 원 O에 접한다”라고 적혀 있었습니다. 또 PA=9cm, PB의 길이를 구하라고 했습니다.

학생은 그림에서 PA와 PB를 눈으로 확인한 뒤 다음과 같이 적었습니다.

“두 선분이 비슷하게 보이므로 PA=PB이다. 따라서 PB=9cm.”

결론은 우연히 맞았지만, 같은 시험지의 다음 문제에서 선분 PC가 원을 두 점에서 지나가는 그림을 보고도 PC를 접선으로 처리하면서 오류가 생겼습니다. 학생은 “P에서 원으로 연결된 선분은 모두 접선처럼 볼 수 있다”고 표시했습니다.

정답보다 먼저 고쳐야 했던 판단

가장 먼저 어긋난 지점은 길이를 계산한 순간이 아니라, 선분의 모양만 보고 접선이라고 정한 것이었습니다. 접선 여부는 선이 원과 만나는 방식으로 판단해야 합니다. 접선은 원과 한 점에서만 만나며, 그 한 점이 접점입니다. 반대로 선이 원 안을 지나 두 점에서 만나면 접선이 아니라 원을 가로지르는 선입니다.

수업에서는 그림에 숫자를 쓰기 전에 P에서 뻗은 두 선을 각각 확인하게 했습니다.

• PA는 원과 A 한 점에서만 만나는가?
• PB는 원과 B 한 점에서만 만나는가?
• A, B가 실제 접점으로 표시되어 있는가?
• 두 선이 같은 원 밖의 점 P에서 출발하는가?

이 네 가지를 표시한 뒤에야 “같은 외부 점 P에서 그은 접선의 길이는 같다”는 성질을 적용했습니다. 따라서 PA=PB이고, PA=9cm이면 PB=9cm입니다. 계산은 그대로 두고, 접선이라는 조건을 확인하는 앞 단계만 바로잡은 것입니다.

그림이 바뀌면 무엇을 다시 확인할까

다음 문제에서는 원 O의 위쪽에 점 Q가 있고, Q에서 원에 그은 두 선이 각각 C, D에서 닿았습니다. 그런데 도형이 시계 방향으로 회전되어 있었고, 선분 QC의 길이가 표시되지 않은 대신 QD=12cm로 주어졌습니다. 질문은 QC의 길이가 아니라 “접선 조건이 성립하는 선분을 고르라”는 것이었습니다.

학생은 이번에는 점 이름이나 선의 방향에 기대지 않고, 각 선이 원과 몇 점에서 만나는지 확인했습니다. QC는 C 한 점에서만 만나 접선이고, QD도 D 한 점에서만 만나 접선이므로 두 선분 모두 같은 조건에 해당한다고 판단했습니다. 반면 다른 선택지의 선분은 원의 안쪽을 지나 E와 F 두 점에서 만나므로 접선으로 고르지 않았습니다.

또 다른 그림에서는 원 위의 점 R에서 시작한 선이 원의 바깥으로 뻗어 있었습니다. 학생은 출발점이 원 위에 있다는 이유만으로 “원 밖의 점에서 그은 접선”이라고 쓰려 했지만, 이를 멈추고 문제의 조건을 다시 읽었습니다. 이 문제의 성질은 같은 원 밖의 한 점에서 두 접선을 그은 경우에만 적용하므로, R을 출발점으로 한 선에는 같은 결론을 자동으로 적용하지 않았습니다.

힌트 없이 다시 세운 판단 기준

며칠 뒤 부대동중3수학과외 시간에는 새로운 그림을 제시했습니다. 원 O의 오른쪽 바깥에 점 T가 있고, T에서 원에 그은 두 선이 각각 M, N에서 만납니다. 한 선은 원에 닿은 뒤 방향을 바꾸어 보이도록 그려졌고, 다른 선은 그림 아래쪽을 가로질러 원 안의 두 점을 통과했습니다. 질문은 “TM과 TN 중 같은 접선의 길이 관계를 쓸 수 있는 선분을 고르고, 그 이유를 설명하라”였습니다.

학생은 도움 없이 먼저 M과 N을 표시하고, TM은 원과 M 한 점에서만 만나는 접선이라고 설명했습니다. 아래쪽 선은 원과 두 점에서 만나므로 TN이라는 이름이 붙어 있어도 접선으로 볼 수 없다고 구분했습니다. 따라서 이 그림에서는 두 접선의 길이를 같다고 쓸 수 없으며, TM과 비교할 접선 자체가 하나뿐이라고 결론 내렸습니다.

“점 T가 원 밖에 있다는 사실만으로 모든 선분이 접선이 되는 것은 아니다. 원과 만나는 점이 하나인지, 그 점이 접점인지 먼저 확인해야 한다.”

마지막으로 학생은 처음 문제의 PA와 PB를 다시 보며, 두 선이 모두 P에서 출발하고 각각 원과 한 점에서만 만난다는 근거를 직접 대조했습니다. 그 뒤에만 PA=PB를 적었습니다. 이번 검증에서 달라진 것은 계산 방식이 아니라, 그림에서 접점과 원과의 만남을 먼저 판별하는 기준이었습니다.