부대동 중1수학과외

부대동 중1수학과외에서 살펴본 합동삼각형의 대응점

학생에게 제시한 문제는 다음과 같았다.

삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 합동이고, ∠A와 ∠D가 같으며 변 AB와 변 DE가 서로 대응한다. 점 B에 대응하는 점과 변 BC에 대응하는 변을 쓰고, ∠C의 크기가 48°일 때 대응하는 각의 크기를 구하여라.

학생은 그림의 위치만 보고 “A와 D, B와 E가 가까우니 C는 F일 것”이라고 적었다. 이어서 대응 관계를 A↔D, B↔E, C↔F로 정리하고 ∠C에 대응하는 각을 ∠F라고 답했다. 겉보기에는 자연스러웠지만, 그림을 가린 뒤 조건만 읽게 하자 같은 방식으로 다시 판단하지 못했다.

그림의 경계보다 주어진 조건을 먼저 읽기

풀이가 어긋난 최초의 판단은 도형의 배치와 점 사이의 거리를 대응 관계의 근거로 삼은 것이었다. 합동인 삼각형이 회전하거나 뒤집혀 있으면 화면에서 가까워 보이는 점이 대응점이라는 보장은 없다. 학생은 이 부분을 지우고, 문제에 직접 제시된 내용을 다시 표시했다.

• ∠A와 ∠D에 같은 표시를 한다.
• 변 AB와 변 DE에 같은 표시를 한다.
• 변 AB의 양 끝점이 A, B이고 변 DE의 양 끝점이 D, E임을 나란히 적는다.
• 이미 A↔D가 정해졌으므로 AB↔DE에서 B↔E를 확인한다.

그 결과 남은 점은 C와 F뿐이므로 C↔F가 된다. 학생은 “그림의 위치가 아니라 주어진 각과 변의 대응을 먼저 사용했기 때문에 남은 점의 대응도 결정된다”고 자신의 수정 이유를 한 줄로 적었다. 이때 이미 맞게 찾은 ∠A와 ∠D의 관계는 그대로 두고, 위치를 근거로 삼았던 부분만 바로잡았다.

회전된 그림에서 같은 관계를 다시 읽기

다음 문제에서는 두 삼각형 중 하나를 오른쪽으로 돌려 놓고, 조건의 순서도 바꾸었다.

삼각형 PQR과 삼각형 XYZ가 합동이다. 변 QR과 변 YZ가 대응하고, ∠R에 대응하는 각은 ∠Z이다. 점 P에 대응하는 점을 찾고, ∠Q와 대응하는 각을 말하여라.

학생은 이번에는 그림을 바로 보지 않고 조건에 밑줄을 그었다. QR↔YZ에서 Q와 R의 순서를 확인하고, R↔Z가 이미 주어졌으므로 Q↔Y라고 적었다. 따라서 남은 점 P↔X이며, ∠Q에 대응하는 각은 ∠Y라고 판단했다. 숫자를 바꾼 반복 문제가 아니라, 도형을 회전하고 질문의 순서를 바꾼 상황에서도 대응 관계를 조건에서 추적한 것이다.

특히 학생은 “합동이라는 말만 보고 대응점을 정할 수는 없고, 대응하는 변이나 각의 양 끝점을 연결해야 한다”고 말하며 회전된 그림의 위치 정보를 잠시 보류했다. 변의 이름을 읽을 때도 QR을 Q-R 순서로, YZ를 Y-Z 순서로 적어 대응점을 섞지 않았다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

수업 후 제시한 마지막 문제는 그림을 가리고 문장과 작은 도형만 제공했다.

삼각형 LMN과 삼각형 STU는 합동이다. ∠M과 ∠T가 대응하고, 변 MN과 변 TU가 대응한다. ∠L에 대응하는 각과 변 LM에 대응하는 변을 각각 구하여라.

학생은 별도의 표시 없이 먼저 “M↔T”를 적었다. 이어 MN↔TU에서 M이 T에 대응하므로 N은 U에 대응한다고 설명했다. 두 삼각형에서 남은 점은 L과 S이므로 L↔S이다. 따라서 ∠L에 대응하는 각은 ∠S이다. 변 LM은 양 끝점 L, M에 대응하는 S, T를 연결하므로 변 ST라고 답했다.

검산할 때는 대응표를 다시 읽었다.

• L↔S, M↔T, N↔U
• ∠M↔∠T, MN↔TU
• LM의 양 끝점 L, M이 ST의 양 끝점 S, T와 일치함

학생은 “주어진 각과 변의 조건으로 두 대응점을 먼저 정하고, 남은 점을 연결한 뒤 변의 양 끝점으로 확인했다”고 풀이 전체를 설명했다. 마지막으로 그림을 돌려 보아도 대응점은 바뀌지 않으며, 그림의 방향은 합동 여부와 대응 관계를 정하는 근거가 아니라는 점까지 스스로 확인했다. 이처럼 부대동중1수학과외에서는 정답만 기록하지 않고, 합동삼각형에서 대응점이 결정되는 순서와 원래 조건에 맞는지 확인하는 과정까지 한 사건으로 연결해 점검했다.