부대동 중2수학과외

부대동 중2수학과외에서 확인한 이등변삼각형 조건의 경계

부대동과외 수업에서 학생은 천안부성중학교가 포함된 생활권의 도형 문제를 풀고 있었다. 그림에는 삼각형 ABC와 선분 AD가 있었고, D는 BC 위의 점이었다.

AD가 BC의 수직이등분선 위에 놓인다는 조건과, ∠BAD와 ∠CAD가 같다는 조건이 주어질 때 ABC가 이등변삼각형인지 설명하시오.

대응점을 정하기 전에 생긴 한 줄의 오류

학생은 그림에서 AD가 각을 나누고 있다는 표시를 보자마자 “∠BAD=∠CAD이므로 △ABD와 △ACD는 합동”이라고 적었다. 이어서 두 삼각형의 공통변 AD를 찾고, 각 하나가 같으니 SAS를 적용하려 했다. 그러나 SAS에 필요한 두 변과 그 끼인각이 아직 모두 주어진 것은 아니었다. 학생이 처음 잘못 선택한 판단은 결과를 계산한 뒤가 아니라, 조건의 위치와 대응점을 확인하기 전에 합동조건부터 정한 것이었다.

교사는 학생의 식과 표시를 지우게 하지 않고, 그림에 실제로 적힌 조건만 따로 옮기게 했다.

• AD는 BC의 수직이등분선 위에 있다.
• 따라서 D는 B와 C에서 같은 거리에 있으므로 DB=DC이다.
• ∠BAD=∠CAD라는 각의 이등분 조건도 표시한다.

그다음 학생은 수직이등분선의 의미를 “선 위의 점이 양 끝점에서 같은 거리”로 읽었다. A가 그 선 위의 점이라면 AB=AC가 바로 성립한다는 점을 확인했다. 이 판단에서는 합동조건을 억지로 고르지 않고, 주어진 선의 성질에서 이등변삼각형의 두 변을 직접 찾아냈다. 각의 이등분선 조건은 별도로 검토했다. AD가 각 A의 이등분선이고 동시에 D가 BC의 중점이라면, 두 작은 삼각형에서 AD는 공통이고 BD=DC, ∠BAD=∠CAD이므로 SAS로 △ABD와 △ACD를 비교할 수 있다. 그 결과 AB=AC를 얻는다.

경계에서는 조건의 방향을 먼저 바꾸어 읽기

학생에게 같은 개념을 식처럼 반복하지 않은 새 문제를 제시했다. 이번에는 삼각형 ABC에서 점 D가 BC 위에 있고, “AB=AC이면 AD가 반드시 BC의 수직이등분선인가?”를 물었다. 학생은 곧바로 그렇다고 하지 않고, 먼저 두 경우를 나누어 그림에 표시했다.

• D가 BC의 중점이고 AD가 BC에 수직인 경우
• D가 BC 위에 있지만 중점이라는 표시가 없는 경우

학생은 첫 번째 경우에는 AB=AC인 삼각형의 꼭짓점 A가 BC의 수직이등분선 위에 있으므로 조건이 맞지만, 두 번째 경우에는 단지 AB=AC만으로 임의의 D까지 수직이등분선 위에 있다고 할 수 없다고 설명했다. “이등변삼각형이면 어떤 선분이든 밑변을 이등분한다”가 아니라, 꼭짓점과 밑변의 중점을 잇는 선분이라는 범위를 분명히 했다.

이어 각의 이등분선에 관한 표현도 바꾸었다. “AD가 ∠A의 이등분선이고 AB=AC일 때 D는 반드시 BC의 중점인가?”라는 질문에서 학생은 두 작은 삼각형을 다시 대응시켰다. AB=AC, AD=AD, ∠BAD=∠CAD를 적은 뒤 SAS로 합동을 세우고 BD=DC를 얻었다. 반대로 D가 선분 BC의 바깥쪽에 있거나, 각을 나누는 선이 아니라 연장선에 놓인 경우에는 그림의 각과 대응점이 달라지므로 같은 결론을 자동으로 적용하지 않았다.

힌트 없이 재현한 최종 검증

수업 끝에는 부호나 표시를 말로 알려 주지 않은 새 그림을 건넸다. 삼각형 PQR에서 점 S는 QR 위에 있고, PS는 ∠QPR을 이등분한다. 또 PQ=PR이다. 학생은 먼저 “같은 변은 PS, 같은 각은 ∠QPS와 ∠SPR, 같은 변은 PQ와 PR”이라고 적었다. 이어 두 삼각형의 대응을 △PQS와 △PRS로 정하고 SAS를 적용해 QS=SR이라고 설명했다. 따라서 S가 QR의 중점이며, 주어진 조건과 결론이 서로 맞물린다고 검산했다.

마지막으로 학생은 “점의 위치가 선분 안인지, 각의 이등분선인지, 수직이등분선의 위인지부터 확인해야 한다”고 스스로 정리했다. 특히 수직이등분선은 양 끝점까지의 거리, 각의 이등분선은 두 각의 크기라는 서로 다른 조건임을 원래 그림에 대조했다. 부대동중2수학과외 수업에서는 이처럼 정답보다 먼저 조건의 위치와 예외가 생기는 경계를 확인하며 풀이를 완성했다.