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부대동 중2수학과외

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부대동 중2수학과외에서 확인한 이등변삼각형 조건의 경계

부대동과외 수업에서 학생은 천안부성중학교가 포함된 생활권의 도형 문제를 풀고 있었다. 극동늘푸른아파트와 두정역마을이 있는 생활권에서 자주 접하는 삼각형 모양의 안내판을 소재로, 꼭짓점에서 밑변으로 내려간 선이 어떤 조건을 가질 때 이등변삼각형이 되는지 판단하는 문제였다. 그림에는 삼각형 ABC와 선분 AD가 있었고, D는 BC 위의 점이었다.

AD가 BC의 수직이등분선 위에 놓인다는 조건과, ∠BAD와 ∠CAD가 같다는 조건이 주어질 때 ABC가 이등변삼각형인지 설명하시오.

대응점을 정하기 전에 생긴 한 줄의 오류

학생은 그림에서 AD가 각을 나누고 있다는 표시를 보자마자 “∠BAD=∠CAD이므로 △ABD와 △ACD는 합동”이라고 적었다. 이어서 두 삼각형의 공통변 AD를 찾고, 각 하나가 같으니 SAS를 적용하려 했다. 그러나 SAS에 필요한 두 변과 그 끼인각이 아직 모두 주어진 것은 아니었다. 학생이 처음 잘못 선택한 판단은 결과를 계산한 뒤가 아니라, 조건의 위치와 대응점을 확인하기 전에 합동조건부터 정한 것이었다.

교사는 학생의 식과 표시를 지우게 하지 않고, 그림에 실제로 적힌 조건만 따로 옮기게 했다.

  • AD는 BC의 수직이등분선 위에 있다.
  • 따라서 D는 B와 C에서 같은 거리에 있으므로 DB=DC이다.
  • ∠BAD=∠CAD라는 각의 이등분 조건도 표시한다.

그다음 학생은 수직이등분선의 의미를 “선 위의 점이 양 끝점에서 같은 거리”로 읽었다. A가 그 선 위의 점이라면 AB=AC가 바로 성립한다는 점을 확인했다. 이 판단에서는 합동조건을 억지로 고르지 않고, 주어진 선의 성질에서 이등변삼각형의 두 변을 직접 찾아냈다. 각의 이등분선 조건은 별도로 검토했다. AD가 각 A의 이등분선이고 동시에 D가 BC의 중점이라면, 두 작은 삼각형에서 AD는 공통이고 BD=DC, ∠BAD=∠CAD이므로 SAS로 △ABD와 △ACD를 비교할 수 있다. 그 결과 AB=AC를 얻는다.

경계에서는 조건의 방향을 먼저 바꾸어 읽기

학생에게 같은 개념을 식처럼 반복하지 않은 새 문제를 제시했다. 이번에는 삼각형 ABC에서 점 D가 BC 위에 있고, “AB=AC이면 AD가 반드시 BC의 수직이등분선인가?”를 물었다. 학생은 곧바로 그렇다고 하지 않고, 먼저 두 경우를 나누어 그림에 표시했다.

  • D가 BC의 중점이고 AD가 BC에 수직인 경우
  • D가 BC 위에 있지만 중점이라는 표시가 없는 경우

학생은 첫 번째 경우에는 AB=AC인 삼각형의 꼭짓점 A가 BC의 수직이등분선 위에 있으므로 조건이 맞지만, 두 번째 경우에는 단지 AB=AC만으로 임의의 D까지 수직이등분선 위에 있다고 할 수 없다고 설명했다. “이등변삼각형이면 어떤 선분이든 밑변을 이등분한다”가 아니라, 꼭짓점과 밑변의 중점을 잇는 선분이라는 범위를 분명히 했다.

이어 각의 이등분선에 관한 표현도 바꾸었다. “AD가 ∠A의 이등분선이고 AB=AC일 때 D는 반드시 BC의 중점인가?”라는 질문에서 학생은 두 작은 삼각형을 다시 대응시켰다. AB=AC, AD=AD, ∠BAD=∠CAD를 적은 뒤 SAS로 합동을 세우고 BD=DC를 얻었다. 반대로 D가 선분 BC의 바깥쪽에 있거나, 각을 나누는 선이 아니라 연장선에 놓인 경우에는 그림의 각과 대응점이 달라지므로 같은 결론을 자동으로 적용하지 않았다.

힌트 없이 재현한 최종 검증

수업 끝에는 부호나 표시를 말로 알려 주지 않은 새 그림을 건넸다. 삼각형 PQR에서 점 S는 QR 위에 있고, PS는 ∠QPR을 이등분한다. 또 PQ=PR이다. 학생은 먼저 “같은 변은 PS, 같은 각은 ∠QPS와 ∠SPR, 같은 변은 PQ와 PR”이라고 적었다. 이어 두 삼각형의 대응을 △PQS와 △PRS로 정하고 SAS를 적용해 QS=SR이라고 설명했다. 따라서 S가 QR의 중점이며, 주어진 조건과 결론이 서로 맞물린다고 검산했다.

마지막으로 학생은 “점의 위치가 선분 안인지, 각의 이등분선인지, 수직이등분선의 위인지부터 확인해야 한다”고 스스로 정리했다. 특히 수직이등분선은 양 끝점까지의 거리, 각의 이등분선은 두 각의 크기라는 서로 다른 조건임을 원래 그림에 대조했다. 부대동중2수학과외 수업에서는 이처럼 정답보다 먼저 조건의 위치와 예외가 생기는 경계를 확인하며 풀이를 완성했다.

부대동 중2수학과외 학부모 후기

오답이 몰려 있던 단원을 다시 펼쳐 보던 날이었어요. 책과 프린트를 치우다가 문제집 맨 뒤쪽에 짧은 메모가 적혀 있는 걸 발견했어요. 자주 틀리는 계산 습관을 자기 나름의 말로 적어 둔 흔적이더라고요. 예전에는 어려운 부분이 나와도 그냥 지나가서, 다음에 볼 수 있게 따로 남겨 둔 적이 없었거든요. 부대동 수학과외를 알아보며 자료를 챙기던 때에도 그 표시가 눈에 들어왔어요. 수업 전 질문할 내용을 확인하다 보니, 이번에도 반복되는 계산 실수를 짧게 적어 두었더라고요. 한 번 보고 끝낸 게 아니라 점검한 부분에 그대로 메모가 남아 있어서, 문제집 뒤쪽의 같은 문장이 먼저 보이더라고요.

★★★★☆학부모 후기

모의고사를 본 날 밤, 어질러진 책상 한쪽에서 아이가 확률 문제를 다시 펼쳐 놓고 있더라고요. 답지를 먼저 찾는 대신 가능한 경우를 작은 표로 나누더니, 겹치는 경우는 하나씩 지워 가며 살펴보고 있었어요. 예예전에는 다시 확인할 문제가 있어도 어디를 봐야 할지 표시를 남기는 일이 거의 없었거든요. 부대동 수학과외 이야기를 나누던 때와는 별개로, 다음 학교 숙제를 하던 날에도 같은 문제를 다루는 방식이 눈에 띄었어요. 경우를 표로 나눈 뒤 중복되는 항목을 지우고, 다시 볼 부분이 보이도록 자료를 정리해 두었더라고요. 책상 위 문제집을 대충 덮어 두던 모습과 달리 표시된 위치가 한눈에 보이더라고요.

★★★★☆학부모 후기

방학 첫 주 부대동에서 아이가 선생님과 공부 계획을 세우는 모습을 지켜보니, 예전처럼 시험 직전에 새 문제만 몰아풀지 않고 복습할 부분을 먼저 정리하더군요. 수업이 일찍 끝난 날에는 오답을 다시 확인하고, 집중이 흐트러지면 선생님이 부담 없이 흐름을 조절해 주셨습니다. 학교 일정이 바뀌어도 계획을 다시 맞추는 일이 한결 수월해졌습니다.

★★★★★학부모 후기

수학 숙제를 빨리 끝내는 데만 신경 쓰던 아이가 부대동 수업을 다녀온 뒤, 시험에서 막혔던 부분을 선생님께 먼저 물어봤다고 이야기했습니다. 선생님은 틀린 풀이를 처음 어긋난 지점부터 함께 살피고, 그날 할 일과 다음 복습 내용을 나누어 안내해 주셨습니다. 요즘은 수업 내용을 집에서 먼저 설명하는 날도 생겨 조금씩 자신감이 보입니다.

★★★★★학부모 후기

부대동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 학교 행사로 공부 시간이 줄어든 날에도 아이가 먼저 책상에 앉는 모습이 눈에 띄었습니다. 선생님은 수업 끝에 그날 복습할 내용을 몇 가지로 줄여 주셔서 부담을 덜어 주셨고, 한 문제에 막혀도 수학을 통째로 포기하지 않는 변화가 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★☆학부모 후기