백석동 중2수학과외

표시가 바뀌어도 이등변삼각형의 조건을 찾는 풀이

백석동과외 수업에서 학생은 천안백석중학교와 환서중학교가 포함된 생활권의 기하 문제를 풀다가 이등변삼각형 조건에서 자주 멈췄다. 검암역로열파크씨티푸르지오1단지와 드림파크야생화단지가 있는 생활권에서 접하는 여러 도형 문제처럼, 그림의 모양이 달라지면 같은 관계를 다른 성질로 착각하는 모습이었다.

그림을 읽던 중 생긴 한 줄의 오류

문제의 그림에는 사각형 안에 대각선이 그어져 두 개의 삼각형이 만들어져 있었다. 한 삼각형에는 두 변에 같은 표시가 있었고, 다른 부분에는 평행한 변이라는 표시가 붙어 있었다. 학생은 먼저 점의 이름을 왼쪽 위부터 시계 방향으로 옮겨 적고, 같은 표시가 있는 두 선분을 색연필로 연결했다. 이어서 “이 두 선분이 같으므로 이등변삼각형”이라고 적은 뒤, 사각형의 모양을 보고 곧바로 두 삼각형이 합동일 것이라고 판단하려 했다.

그때 학생의 풀이가 처음 어긋난 지점은 결과가 아니라 다음 한 줄이었다.

“평행사변형처럼 보이므로 마주 보는 변과 각을 바로 같다고 사용할 수 있다.”

평행하다는 표시만으로 사각형 전체가 평행사변형이라고 정할 수는 없는데, 학생은 그림의 외형을 조건처럼 사용했다. 이 판단 뒤에는 대응하는 변과 각을 확인하지 않은 채, 익숙한 도형의 성질을 거꾸로 적용하려는 흐름이 이어졌다.

도형의 이름보다 주어진 표시를 먼저 연결하기

백석동중2수학과외 수업에서는 이미 맞게 한 과정인 같은 표시의 두 선분 찾기를 그대로 유지했다. 다만 사각형의 이름을 붙이는 대신, 삼각형 하나만 떼어 점과 선분의 관계를 적게 했다. 학생은 꼭짓점을 P, Q, R로 다시 쓰고 다음처럼 정리했다.

주어진 표시가 있는 선분은 PQ와 PR이다.
PQ=PR이면 두 변이 같은 삼각형이므로 꼭짓점은 P이다.
같은 두 변의 맞은편 각, 즉 ∠PRQ와 ∠PQR가 서로 같다.

교정의 핵심은 평행사변형인지 먼저 판정하는 것이 아니라, 이등변삼각형을 결정하는 두 변 또는 두 각의 대응을 직접 찾는 것이었다. 학생은 사각형의 다른 부분을 잠시 가리고, 표시가 남은 삼각형만 보며 “같은 변의 맞은편 각이 서로 대응한다”고 말한 뒤 각의 위치를 선으로 연결했다. 이후 평행선 표시가 필요한 부분은 별도의 조건으로만 사용하고, 이등변삼각형이라는 결론과 섞지 않았다.

문장으로 바뀐 조건을 식과 그림으로 되돌리기

다음 문제는 그림 없이 제시되었다.

삼각형 ABC에서 ∠B와 ∠C의 크기가 같을 때, 어떤 두 변의 길이가 같은지 설명하시오.

학생은 숫자나 도형의 방향을 기억해서 답하지 않고, 각의 맞은편 변을 문장으로 추적했다. ∠B의 맞은편 변은 AC, ∠C의 맞은편 변은 AB이므로 ∠B=∠C이면 AC=AB라고 적었다. 이어 “같은 두 각의 맞은편 변이 같으므로 꼭짓점 A를 사이에 둔 두 변이 같다”고 설명했다. 질문 방향이 ‘같은 변이 주어졌을 때 같은 각을 찾기’에서 ‘같은 각이 주어졌을 때 같은 변을 찾기’로 바뀌었지만, 대응 관계는 그대로 복원했다.

또 다른 문제에서는 삼각형 XYZ에서 XY=YZ가 주어지고, 점 Y에서 밑변 XZ로 선분을 그은 그림이 나왔다. 학생은 선분을 그었다는 사실만으로 두 삼각형이 합동이라고 쓰지 않았다. 먼저 XY와 YZ가 같은 두 변이고, 공통으로 보이는 선분이나 각의 관계는 추가 조건이 있어야 한다고 구분했다. 이등변삼각형의 조건으로 바로 말할 수 있는 것은 XY=YZ이며, 그에 따라 밑각 ∠X와 ∠Z가 같다는 점을 따로 적었다.

힌트 없이 다시 세운 첫 판단

수업 끝의 확인 문제는 그림 대신 다음 문장만 주어졌다. “삼각형 MNO에서 MN과 MO의 길이가 같고, ∠N의 크기는 47도이다. 이 삼각형의 성질을 설명하시오.” 학생은 별도 표시를 기다리지 않고 첫 줄에 “MN=MO이므로 꼭짓점 M을 사이에 둔 두 변이 같은 이등변삼각형”이라고 썼다. 이어 같은 두 변의 맞은편 각이므로 ∠N=∠O라고 설명하고, ∠O도 47도라고 적었다.

검산할 때는 계산 결과만 바라보지 않고 ∠N과 ∠O가 각각 MN, MO의 맞은편에 있는지 다시 확인했다. 마지막으로 “두 변이 같은 조건에서 출발해 맞은편 두 각을 연결했으며, 그림의 기울기나 사각형의 모양은 사용하지 않았다”고 풀이 근거를 스스로 말할 수 있었다. 표현과 조건의 순서가 달라도 대응점·대응변·대응각을 먼저 찾는 판단이 재현된 장면이었다.

백석동 중2수학과외 학부모 후기

문제집 한 권을 끝낸 날, 책장을 넘기다가 기하 문제 페이지에서 손이 멈췄어요. 원래 그림 옆에 필요한 조건만 다시 옮겨 그린 작은 그림이 있었고, 그 그림을 기준으로 풀이가 이어져 있더라고요. 예전 복습 때는 중요한 부분과 이미 알고 있는 내용을 구분하지 않고 한꺼번에 보곤 했거든요. 백석동 수학과외를 알아보던 중에도 이런 장면을 집에서 직접 보게 될 줄은 몰랐어요. 새로 학교 숙제가 나온 날에는 문제 전체를 다시 그리지 않고, 풀이에 필요한 조건만 골라 간단한 그림으로 옮겼습니다. 확인한 부분만 남겨 두고 나머지 자료를 정리한 뒤, 그 그림 아래에 풀이를 이어 간 모습이 눈에 띄었어요.

★★★★★학부모 후기

단원평가를 본 날 아이가 시험지를 그냥 가방에 넣지 않고, 확률 문제 한 칸을 잠시 들여다보더라고요. 원래는 맞았는지 틀렸는지만 확인하고 지나가는 편이라 무슨 일인가 싶어 옆에서 봤는데, 가능한 경우를 작은 표처럼 나눠 적고 겹치는 항목에는 선을 그어 지우고 있었어요. 예예전에는 공부를 끝내면 그날 못 본 부분까지 한꺼번에 덮어두곤 했거든요. 그런데 이번에는 문제 전체를 다시 붙잡기보다 헷갈린 부분만 골라 경우를 나누어 확인했습니다. 백석동 수학과외 이야기를 나누며 집에서 지켜보던 중에도 이런 장면이 보여서 조금 의외였어요. 주말에 시험 범위를 다시 펼쳤을 때도 같은 확률 문제를 꺼내더니, 이번에는 표의 칸을 먼저 만들고 겹치는 경우를 하나씩 지웠어요. 마지막에는 필요한 부분 옆에만 짧게 체크해 두고 자료를 정리했습니다.

★★★★☆학부모 후기

시험이 끝난 다음 날 저녁, 다음 일정을 준비하다가 아이가 문제집을 바로 덮지 않고 마지막 계산 결과를 잠시 들여다보더라고요. 처음에 적은 계산과는 다른 방식으로 다시 확인하는 모습이어서 저도 옆에서 잠깐 지켜보게 됐어요. 전에는 공부를 마치면 답이 맞는지 따로 살피거나 다시 볼 곳을 남겨두는 일이 없었거든요. 백석동 수학과외 이야기를 나누면서도 이런 장면을 특별히 기대한 건 아니었는데, 며칠 지나 수업 자료를 챙기던 저녁에도 같은 식으로 계산 결과를 확인하고 있었어요. 처음 풀 때와 다른 방법을 골라 마지막 부분을 다시 짚어 보더라고요. 예전에는 풀이가 끝나면 그대로 넘겼는데, 이번에는 끝부분을 그냥 지나치지 않고 확인한 뒤 그 자리에 표시를 남겨두었습니다.

★★★★★학부모 후기

백석동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 어느 날 선생님께 먼저 모르는 부분을 질문했다며 수업 이야기를 들려주었습니다. 예전에는 답이 바로 안 나오면 불안해하며 틀린 문제를 다시 보지 않았는데, 선생님은 처음 어긋난 부분만 찾아 스스로 이어갈 시간을 주셨고 시험을 보고 돌아온 날에도 집중해서 끝까지 풀었다고 했습니다. 집에 와서 수업 내용을 먼저 설명하는 모습이 생긴 것만으로도 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 범위를 처음 받은 날에도 아이는 예전처럼 계획을 미루지 않고 책상에 앉아 할 일을 살폈습니다. 백석동 수학과외 선생님은 어려운 문제 앞에서 굳은 표정을 보이면 같은 설명만 반복하지 않고 다른 문제나 활동으로 바꿔 주셔서, 아이가 모르는 부분도 편하게 말할 수 있었습니다. 집에서도 수학 공부를 시작할 때 느끼는 부담이 조금 줄어든 모습이라 좋게 느껴집니다.

★★★★★학부모 후기

숙제가 많으면 시작하기도 전에 답지를 보고 싶었는데, 선생님께서 백석동 수업에서 아이가 혼자 이어 갈 시간을 남겨 두도록 분량을 조절해 주셨습니다. 시험 기간에는 빠르게 나간 진도 대신 복습과 오답 확인을 했고, 새 학기 일정이 바뀌어도 공부 계획을 다시 세우는 일이 전보다 편해졌다고 합니다.

★★★★★학부모 후기