백석동 고2수학과외







“또는”을 배반사건으로 읽은 순간
학생 50명 중 수학 심화 과목을 선택한 학생은 20명, 과학 탐구 과목을 선택한 학생은 15명, 두 과목을 모두 선택한 학생은 6명이었다. 두 과목 중 하나 이상을 선택한 학생의 비율을 구하는 문제에서 한 학생은 다음과 같이 계산했다.
처음 기록: \(P(A)=\frac{20}{50}\), \(P(B)=\frac{15}{50}\)이므로 “A 또는 B”는 \(\frac{20}{50}+\frac{15}{50}=\frac{35}{50}\)이다.
문장 속 ‘또는’의 의미 확인
여기서 A는 수학 심화 과목 선택, B는 과학 탐구 과목 선택이다. “A 또는 B”는 A에만 해당하거나 B에만 해당하거나 두 과목 모두에 해당하는 경우를 포함한다. 따라서 합사건은 \(A\cup B\)이고, 두 과목을 모두 선택한 \(A\cap B\)가 존재하므로 중복을 한 번 빼야 한다.
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]
\[ =\frac{20}{50}+\frac{15}{50}-\frac{6}{50} =\frac{29}{50} \]
겹치는 부분을 표로 검증하기
| 분류 | 학생 수 |
|---|---|
| 수학만 선택 | 14명 |
| 과학만 선택 | 9명 |
| 두 과목 모두 선택 | 6명 |
| 하나 이상 선택 | 29명 |
직접 세어도 \(14+9+6=29\)명이다. 처음 계산한 35명은 두 과목 모두 선택한 6명을 두 번 센 결과다.
경계값으로 다시 확인하기
만약 모든 수학 선택자가 과학 선택자 안에 포함된다면 \(A\subset B\)이므로 \(P(A\cup B)=P(B)\)여야 한다. 이때 단순히 \(P(A)+P(B)\)를 계산하면 \(P(B)\)보다 커진다. 따라서 겹칠 수 있는 두 사건의 “또는”에는 교집합을 빼는 과정이 필요하다.
백석동과외에서 적용할 판단 기준
확률의 덧셈정리 문제를 풀 때는 먼저 ‘또는’를 \(A\cup B\)로 옮긴 뒤, 두 사건이 동시에 일어날 수 있는지 확인한다. 겹침이 있으면
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]
를 사용하고, 배반사건일 때만 \(P(A\cap B)=0\)으로 두어 단순히 더한다. 이 문제의 최종 답은 \(\frac{29}{50}\)이다.