두정동 중3수학과외

그림에서 접점을 먼저 읽는 두정동 중3수학과외 기록

두정동과외 수업에서 원의 성질 문제를 시간 제한으로 풀던 중, 학생이 완성된 풀이를 뒤에서부터 읽으며 최초 오류를 찾는 활동을 진행했다. 천안두정중학교, 천안성성중학교, 천안오성중학교가 포함된 생활권에서 자주 접할 수 있는 도형 문제를 참고했지만, 특정 학교의 시험 경향을 전제로 하지는 않았다. 극동늘푸른아파트와 두정세광아파트가 있는 생활권의 학습 사례로, 이번 글의 범위는 원 밖의 한 점에서 그은 접선 조건을 그림에서 해석하는 것으로 한정했다.

계산보다 앞서 틀어진 표시

문제는 다음과 같았다.

원 O의 바깥에 점 P가 있다. P에서 원에 그은 두 직선이 원과 각각 A, B에서 만난다. 두 직선이 접선이고 PA=7일 때, PB의 길이를 구하여라.

그림에는 P에서 원으로 향하는 선분 두 개가 그려져 있었고, 위쪽 선분은 A, 아래쪽 선분은 B에서 원에 닿아 있었다. 학생은 제한 시간 안에 다음처럼 적었다.

PA=7, PB=x
7+x=14, 따라서 x=7

답 자체는 7이었지만, 식을 세운 이유가 접선 조건과 연결되어 있지 않았다. 완성 풀이를 뒤에서 읽던 학생은 처음에는 계산식의 모양을 고치려 했다. 그러나 풀이 기록을 순서대로 살펴보니 PA와 PB가 실제로 접선인지, A와 B가 접점인지 표시하지 않은 채 두 길이가 같다고 판단한 것이 먼저였다.

이 문제에서 확인할 대상은 원과 연결된 접점 A, B와 그 접점으로 이어지는 두 선분이었다. 그림에 선이 두 개 있다는 사실만으로는 충분하지 않다. P에서 출발해 원에 닿는 점이 A와 B인지, 두 선분이 문제에서 접선이라고 주어진 것인지 먼저 읽어야 한다.

한 표시만 바로잡아 다시 읽기

교정은 풀이 전체를 다시 쓰는 방식이 아니었다. 학생은 그림에 다음 세 가지를 직접 표시했다.

바깥점: P
첫 번째 접점: A, 두 번째 접점: B
접선으로 주어진 선분: PA, PB

그다음 “한 점 P에서 같은 원에 그은 두 접선의 길이는 같다”는 조건을 문제의 두 선분에 연결했다. 따라서

PA=PB

이고 PA=7이므로

PB=7

이다. 학생이 처음 적은 답 7은 유지했지만, 근거 없는 7+x=14라는 식은 지웠다. 이번 교정에서 바뀐 행동은 하나뿐이다. 계산 전에 원 밖의 점, 두 접점, 접선으로 주어진 선분을 그림에서 먼저 표시하는 것이다. 원의 다른 각의 크기나 호의 길이를 구하는 절차는 이 문제에 필요하지 않았다.

표현이 달라진 새 도형에서 확인하기

며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 그림의 정보 위치를 바꾼 문제를 제시했다.

원 O의 바깥점 Q에서 두 선분 QR, QS를 그었다. R과 S는 원 위의 점이며, 그림에서 QR과 QS는 원에 한 점에서만 닿는다. QR의 길이가 11cm일 때, 두 접선의 길이 차를 구하여라.

이번에는 접선이라는 단어가 본문에 직접 반복되지 않고, 그림 설명 속 “한 점에서만 닿는다”는 조건으로 제시되었다. 학생은 먼저 Q를 바깥점으로 동그라미 치고, R과 S를 접점으로 표시했다. 이어 QR과 QS를 두 접선으로 읽은 뒤 QR=QS라고 적었다. 그러므로 두 접선의 길이 차는

QS-QR=0

이다. 학생은 이전 문제처럼 합을 만들지 않았고, 질문이 “길이”가 아니라 “길이 차”라는 점도 마지막에 확인했다. 그림의 선분 이름과 질문 방향이 달라졌지만, 판단 기준은 바깥점에서 같은 원에 닿는 두 접선인지 여부로 유지했다.

힌트 없이 끝까지 설명한 검증

마지막에는 풀이 중간을 가린 상태에서 다음 문제를 혼자 해결했다.

점 T는 원 O의 바깥에 있고, T에서 원에 그은 두 직선이 원과 각각 C, D에서 접한다. TC=9cm이고 TD를 구하여라. 풀이에서 사용한 그림의 조건도 설명하여라.

학생은 먼저 “T가 원 밖의 점이고 C, D가 두 접점”이라고 말한 뒤, 두 선분 TC와 TD를 표시했다. 그리고 “같은 바깥점 T에서 같은 원에 그은 접선이므로 두 접선의 길이가 같다”고 설명했다.

TC=TD이므로 TD=9cm이다. 검산할 때도 숫자만 다시 계산하지 않고, 답 9를 원래 조건과 대조했다. TC가 9이고 두 선분이 같은 바깥점에서 원에 닿는 접선이므로 TD도 9여야 한다는 것이다. 접점과 접선을 먼저 읽었기 때문에 선의 위치가 위아래로 바뀌거나 길이 표시가 달라져도 같은 판단을 스스로 재현할 수 있었다.

이처럼 두정동중3수학과외에서는 원 밖의 접선 문제를 풀 때 정답 계산보다 먼저 바깥점과 접점, 접선으로 연결된 선분을 그림에서 확인하도록 훈련한다. 불당동문화카페거리 인근 생활권이나 두정역마을 주변에서 학습 자료를 접하더라도, 이번 단원의 기준은 다른 원의 성질로 넓히지 않고 접선 조건을 정확히 읽는 데 둔다.

두정동 중3수학과외 학부모 후기

책상 서랍 안을 정리하다가 문제집을 펼쳐 봤는데, 여백에 동그랗고 작은 표시가 하나 있더라고요. 계산을 틀린 답을 적어 둔 게 아니라, 실수가 처음 시작된 줄 옆에만 조심스럽게 남겨 둔 흔적이었어요. 잠깐 방을 확인하러 갔다가 우연히 본 장면이라 더 눈에 띄었습니다. 두정동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 부분은 꽤 신경 쓰였는데, 예전에는 다시 살펴볼 곳을 머릿속으로만 기억한다고 하고 자료에는 따로 남기지 않았거든요. 그래서 표시 하나가 생긴 것만으로도 방식이 달라졌다는 생각이 들었어요. 새 학습지를 풀던 저녁에도 비슷한 표시가 보였습니다. 여러 군데에 낙서하듯 남긴 게 아니라 계산이 어긋난 시작점 한 곳만 짚어 두었고, 마지막에 남은 표시도 딱 그 한 군데였어요.

★★★★☆학부모 후기

두정동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 아이의 노트가 바뀐 날 장면이 떠올랐어요. 새 수학 노트를 마련한 날이라 그냥 정리만 했겠거니 했는데, 문제집을 펼쳐 보니 여백에 아주 작은 표시가 하나 있더라고요. 계산이 틀어지기 시작한 자리만 짚어 둔 흔적이었어요. 그예전에는 어디를 다시 봐야 할지 따로 남겨 두지 않아서, 문제집을 다시 펼치면 처음부터 끝까지 훑곤 했습니다. 그런데 이번에는 실수가 난 지점을 눈에 띄지 않게 표시해 두고, 아직 확인하지 못한 부분도 따로 구분해 놨어요. 표시가 많지 않은데도 찾아볼 곳이 바로 보였습니다. 학교 숙제를 마친 뒤에도 풀이를 대충 넘기지 않고 계산이 어긋난 첫 자리부터 표시하더라고요. 확인을 못 한 부분에는 또 다른 표시를 해 두어서, 다음에 펼쳤을 때 어디부터 살펴볼지가 남아 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

수학 노트를 펼쳤다가 한쪽에 짧게 적힌 계산 한 줄과 ‘여기서부터 다시’라는 표시를 보게 됐어요. 수학 경시형 문제를 풀어 본 날이었는데, 문제 전체를 베껴 놓은 게 아니라 다시 살펴볼 부분과 그 이유만 남아 있더라고요. 두정동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 노트 모습이 눈에 들어왔어요. 예전에는 답을 확인하면 다른 풀이가 가능한지까지 다시 비교하는 일은 없었거든요. 그런데 이번에는 정답 옆에 머무르지 않고, 다시 볼 계산 한 줄을 따로 적어 두었어요. 학교 단원평가 전날 노트를 보니 같은 방식으로 이유를 붙여 놓았고, 어느 부분부터 다시 확인할지 순서까지 표시되어 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

방학이라 생활 리듬이 늦어진 때에도 두정동 수업이 있는 날이면 아이가 책상에 앉는 모습부터 달라졌습니다. 처음에는 숙제가 많다며 한꺼번에 하려 했지만, 선생님은 진도가 빠른 날 남은 시간에 복습과 오답을 챙기고 질문도 부담 없이 받아 주셨습니다. 학교 일정이 바뀌어도 계획을 다시 세우는 일이 한결 수월해진 점이 성적보다 먼저 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

숙제 검사를 받을 때마다 아이가 틀린 문제를 슬쩍 넘기려 해 걱정했는데, 두정동에서 시작한 과외에서는 선생님이 맞힌 문제도 풀이를 다시 말해보게 하며 자연스럽게 확인해 주셨습니다. 시험이 다가오면 새 진도보다 부족한 부분을 다시 살피고, 아이가 부담을 느끼지 않도록 일정과 수업량도 조절해 주셨습니다. 요즘은 틀린 문제 앞에서도 금방 포기하지 않고 다시 이어가는 모습이 보여 좋게 느껴집니다.

★★★★★학부모 후기

수행평가가 겹쳐 숙제가 평소보다 많이 남은 날에도 두정동에서 선생님은 먼저 할 수 있는 문제부터 골라 주셨습니다. 설명을 서두르기보다 이해했는지 계속 물어봐 주셔서 편하게 질문할 수 있었고, 틀린 답도 바로 포기하지 않고 한 번 더 살펴보게 됐습니다.

★★★★★학부모 후기