두정동 중1수학과외

대응점을 먼저 읽는 합동삼각형 풀이

두정동과외 수업에서 다룬 문제는 천안두정중학교가 포함된 생활권의 중1수학 학습에서 자주 만나는 합동삼각형 유형이었다. 두정역마을과 백송마을이 이어지는 생활권에서 살펴본 사례였지만, 핵심은 생활 배경이 아니라 두 삼각형의 대응 관계를 정확히 연결하는 일이었다.

문제에는 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 제시되어 있었고, △ABC≡△DEF라고 적혀 있었다. 또 AB의 길이는 6cm, BC의 길이는 8cm, 각 B의 크기는 50°였다. 학생은 그림에서 눈에 보이는 모양을 보고 “AB와 DE가 서로 마주 보이니 대응하고, 각 B와 각 E가 대응한다”고 적은 뒤, DE=6cm, EF=8cm, 각 E=50°라고 바로 옮겼다.

오답에서 거꾸로 찾아간 첫 판단

계산 자체가 복잡했던 것은 아니었다. 결과가 틀어지기 시작한 지점은 도형의 모양을 보고 대응점을 정한 순간이었다. 합동이라고 해서 그림에서 비슷하게 보이는 위치끼리 대응하는 것이 아니라, 합동 기호에 나열된 순서를 먼저 읽어야 한다. △ABC≡△DEF에서는 A와 D, B와 E, C와 F가 차례로 대응한다.

학생의 풀이를 다시 펼쳐 △ABC의 세 꼭짓점 옆에 A, B, C를 크게 쓰고, △DEF에도 D, E, F를 같은 순서로 표시했다. 그다음 A-D, B-E, C-F를 선으로 연결했다. 이 표시를 한 뒤에야 AB와 대응하는 변은 DE, BC와 대응하는 변은 EF라는 사실이 그림의 방향과 관계없이 정해진다는 것을 확인했다. 불필요하게 다른 변을 후보로 남겨 두지 않고, 주어진 합동 순서에 맞는 대응만 사용했다.

합동 여부를 판단하기 전에 “어느 점과 어느 점이 대응하는가?”를 먼저 적는다.

같은 개념을 다른 모습으로 바꾸어 보기

다음 활동에서는 그림을 180도 돌려 놓고, 문제의 질문도 바꾸었다. 이번에는 △GHI≡△JKL이고, “변 JL과 같은 길이를 갖는 변을 △GHI에서 찾아라”라고 제시했다. 학생은 그림의 위아래 위치를 기준으로 찾지 않고, 합동 기호에서 G-J, H-K, I-L을 대응시켰다. JL은 J와 L을 잇는 변이므로 이에 대응하는 변은 G와 I를 잇는 GI라고 설명했다.

이어서 표의 형태로 조건을 제시했다.

G와 J가 대응한다.
H와 K가 대응한다.
I와 L이 대응한다.
∠K의 크기는 72°이다.

“△GHI에서 72°인 각을 찾아라”라는 질문에 학생은 각 K의 대응점이 H이므로 ∠H=72°라고 답했다. 그림에서 각의 위치를 추측하지 않고, 표에 적힌 대응 관계를 따라 질문의 방향을 거꾸로 바꾼 점이 중요했다. 도형을 회전하고 조건의 순서를 섞어도 대응점·대응변·대응각을 연결하는 기준은 변하지 않았다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

검증 단계에서는 새로운 문제를 학생에게 맡겼다. △PQR≡△XYZ이고 PQ=9cm, ∠R=38°일 때, XY의 길이와 ∠Z에 대응하는 각을 묻는 문제였다. 학생은 별도의 표시 없이 먼저 “P-X, Q-Y, R-Z가 대응한다”고 말했다. 따라서 PQ에 대응하는 변은 XY이므로 XY=9cm이고, ∠R에 대응하는 각은 ∠Z라고 설명했다.

학생은 여기서 멈추지 않고 자신이 정한 대응을 원래 합동식의 순서와 대조했다. P-Q-R과 X-Y-Z가 같은 순서로 놓였으므로 두 답이 조건에 맞는다고 확인했다. 이어 “그림을 돌려도 대응점은 바뀌지 않고, 주어진 합동식의 순서가 기준이 된다”고 풀이 이유를 스스로 정리했다. 처음 그림의 모양을 보고 대응을 정했던 오류와, 지금처럼 조건을 먼저 읽은 풀이를 나란히 비교하면서 합동삼각형 문제를 독립적으로 재현했다.

천안성성중학교와 천안오성중학교가 포함된 생활권을 살펴보는 과정에서도 같은 원칙을 적용할 수 있다. 두정동중1수학과외에서는 답만 맞히는 데 그치지 않고, 대응점을 표시한 근거와 원래 조건에 다시 대조한 과정을 문장으로 남기도록 했다. 합동삼각형에서는 도형의 방향보다 대응 관계와 주어진 조건을 먼저 읽는 습관이 풀이의 출발점이 된다.

두정동 중1수학과외 학부모 후기

수행평가 자료를 챙기던 날, 아이가 확률 문제를 그냥 넘기지 않고 종이에 작은 표를 먼저 만들더라고요. 가능한 경우를 하나씩 나눈 뒤 겹치는 경우에는 짧게 표시해 지워 두고, 확인한 자리에도 표시를 남겼어요. 전에는 틀린 문제가 보여도 어디서 판단이 달라졌는지는 따로 찾지 않았거든요. 두정동 수학과외 이야기를 나누며 지켜보게 된 수학 수업 전날 저녁에도 비슷한 장면이 있더라고요. 문제를 읽자마자 답지를 찾는 대신 경우를 표 안에 나눠 적고, 중복되는 항목을 직접 걸러냈습니다. 예전에 답만 맞춰 보던 모습과 달리, 이번에는 처음 판단한 부분을 다시 살피는 과정이 눈에 보이더라고요. 표의 칸마다 남겨 둔 작은 표시를 따라가니 어떤 경우를 빼야 하는지 아이 스스로 확인하고 있었습니다. 계산 결과보다 경우를 나눈 흔적이 먼저 보였어요.

★★★★☆학부모 후기

시험지를 다시 꺼내 본 아이가 적분 문제의 그래프부터 들여다보고 있더라고요. 교점과 적분구간의 경계에 표시가 되어 있었고, 다시 확인할 부분만 눈에 띄게 남겨둔 상태였어요. 답이나 풀이 전체를 처음부터 훑는 모습과는 조금 달랐습니다. 교과서를 책장에 꽂으려다 책상 위 문제를 보게 됐는데, 적분 문제에서도 같은 표시가 있었습니다. 예전에는 막힌 부분이 나오면 어디서 어려워졌는지 찾기보다 첫 줄부터 다시 읽거나 풀곤 했거든요. 그런데 이번에는 그래프에 교점과 구간 경계를 먼저 짚어 둔 뒤 식을 세워 놓았어요. 두정동 수학과외를 언급하며 상담하던 때보다도, 집에서 이런 식으로 풀이의 시작점을 찾아가는 모습이 먼저 눈에 띄었습니다.

★★★★☆학부모 후기

모의고사 오답을 펼쳐 보니 그래프 한쪽이 접혀 있더라고요. 필요한 부분만 접어 둔 채 책상에서 일어난 모양이었는데, 다시 펴서 보니 교점과 적분구간의 경계가 표시되어 있었습니다. 답이나 식만 확인한 게 아니라 그래프에서 어디를 봐야 하는지 남겨 둔 점이 눈에 띄었어요. 기말고사 다음 주말에는 적분 문제를 풀다가 잠시 멈추더니 그래프의 교점과 구간 끝부분만 따로 짚어 표시했어요. 그다음 식을 세우는 모습이 예전과 달랐습니다. 예전에는 한 번 공부한 내용에 질문이나 확인할 것을 남기지 않고 지나갔거든요. 두정동 수학과외 이야기를 나누며 봐도, 이번 장면은 설명보다 아이가 문제 옆에 남긴 표시가 더 분명했어요.

★★★★☆학부모 후기

학원과 학교 일정이 겹쳐 귀가가 늦은 날에도 예전처럼 숙제를 미루지 않고 책상에 앉는 모습을 보니 스스로도 신기했습니다. 두정동에서 수학 과외를 시작한 뒤 선생님은 할 일을 짧게 나눠 주고, 설명보다 제가 제대로 이해했는지 먼저 확인해 주셨습니다. 시험기간에 계획이 밀려도 순서를 다시 정하니 부담이 줄고 공부를 시작할 때 표정도 한결 편안해졌습니다.

★★★★★학부모 후기

두정동에서 수학 과외를 시작한 뒤 시험이 다가와도 예전처럼 마음만 급하게 책상에 앉기보다, 오늘 할 분량을 정하고 공부하게 됐습니다. 주말에 한 과목을 예상보다 오래 공부한 날에도 선생님은 무리해서 진도를 늘리지 않고 복습할 시간을 남겨 주셨고, 막히는 부분은 부모님과도 공유해 주셨습니다. 요즘은 맞힌 문제도 풀이가 괜찮았는지 한 번 더 살펴보는 습관이 생겨 뿌듯합니다.

★★★★★학부모 후기

두정동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 틀린 문제를 예전처럼 피하지 않고, 선생님께 설명을 다시 부탁하는 모습이 눈에 띄었습니다. 답을 전부 다시 풀게 하기보다 처음 막힌 부분부터 차분히 찾아 주셔서 부담이 덜했고, 시험이 끝난 뒤에는 수업에서 배운 내용을 먼저 이야기할 만큼 복습 태도도 자연스러워졌습니다.

★★★★★학부모 후기