두정동 중1수학과외

대응점을 먼저 읽는 합동삼각형 풀이

두정동과외 수업에서 다룬 문제는 천안두정중학교가 포함된 생활권의 중1수학 학습에서 자주 만나는 합동삼각형 유형이었다. 두정역마을과 백송마을이 이어지는 생활권에서 살펴본 사례였지만, 핵심은 생활 배경이 아니라 두 삼각형의 대응 관계를 정확히 연결하는 일이었다.

문제에는 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 제시되어 있었고, △ABC≡△DEF라고 적혀 있었다. 또 AB의 길이는 6cm, BC의 길이는 8cm, 각 B의 크기는 50°였다. 학생은 그림에서 눈에 보이는 모양을 보고 “AB와 DE가 서로 마주 보이니 대응하고, 각 B와 각 E가 대응한다”고 적은 뒤, DE=6cm, EF=8cm, 각 E=50°라고 바로 옮겼다.

오답에서 거꾸로 찾아간 첫 판단

계산 자체가 복잡했던 것은 아니었다. 결과가 틀어지기 시작한 지점은 도형의 모양을 보고 대응점을 정한 순간이었다. 합동이라고 해서 그림에서 비슷하게 보이는 위치끼리 대응하는 것이 아니라, 합동 기호에 나열된 순서를 먼저 읽어야 한다. △ABC≡△DEF에서는 A와 D, B와 E, C와 F가 차례로 대응한다.

학생의 풀이를 다시 펼쳐 △ABC의 세 꼭짓점 옆에 A, B, C를 크게 쓰고, △DEF에도 D, E, F를 같은 순서로 표시했다. 그다음 A-D, B-E, C-F를 선으로 연결했다. 이 표시를 한 뒤에야 AB와 대응하는 변은 DE, BC와 대응하는 변은 EF라는 사실이 그림의 방향과 관계없이 정해진다는 것을 확인했다. 불필요하게 다른 변을 후보로 남겨 두지 않고, 주어진 합동 순서에 맞는 대응만 사용했다.

합동 여부를 판단하기 전에 “어느 점과 어느 점이 대응하는가?”를 먼저 적는다.

같은 개념을 다른 모습으로 바꾸어 보기

다음 활동에서는 그림을 180도 돌려 놓고, 문제의 질문도 바꾸었다. 이번에는 △GHI≡△JKL이고, “변 JL과 같은 길이를 갖는 변을 △GHI에서 찾아라”라고 제시했다. 학생은 그림의 위아래 위치를 기준으로 찾지 않고, 합동 기호에서 G-J, H-K, I-L을 대응시켰다. JL은 J와 L을 잇는 변이므로 이에 대응하는 변은 G와 I를 잇는 GI라고 설명했다.

이어서 표의 형태로 조건을 제시했다.

• G와 J가 대응한다.
• H와 K가 대응한다.
• I와 L이 대응한다.
• ∠K의 크기는 72°이다.

“△GHI에서 72°인 각을 찾아라”라는 질문에 학생은 각 K의 대응점이 H이므로 ∠H=72°라고 답했다. 그림에서 각의 위치를 추측하지 않고, 표에 적힌 대응 관계를 따라 질문의 방향을 거꾸로 바꾼 점이 중요했다. 도형을 회전하고 조건의 순서를 섞어도 대응점·대응변·대응각을 연결하는 기준은 변하지 않았다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

검증 단계에서는 새로운 문제를 학생에게 맡겼다. △PQR≡△XYZ이고 PQ=9cm, ∠R=38°일 때, XY의 길이와 ∠Z에 대응하는 각을 묻는 문제였다. 학생은 별도의 표시 없이 먼저 “P-X, Q-Y, R-Z가 대응한다”고 말했다. 따라서 PQ에 대응하는 변은 XY이므로 XY=9cm이고, ∠R에 대응하는 각은 ∠Z라고 설명했다.

학생은 여기서 멈추지 않고 자신이 정한 대응을 원래 합동식의 순서와 대조했다. P-Q-R과 X-Y-Z가 같은 순서로 놓였으므로 두 답이 조건에 맞는다고 확인했다. 이어 “그림을 돌려도 대응점은 바뀌지 않고, 주어진 합동식의 순서가 기준이 된다”고 풀이 이유를 스스로 정리했다. 처음 그림의 모양을 보고 대응을 정했던 오류와, 지금처럼 조건을 먼저 읽은 풀이를 나란히 비교하면서 합동삼각형 문제를 독립적으로 재현했다.

천안성성중학교와 천안오성중학교가 포함된 생활권을 살펴보는 과정에서도 같은 원칙을 적용할 수 있다. 두정동중1수학과외에서는 답만 맞히는 데 그치지 않고, 대응점을 표시한 근거와 원래 조건에 다시 대조한 과정을 문장으로 남기도록 했다. 합동삼각형에서는 도형의 방향보다 대응 관계와 주어진 조건을 먼저 읽는 습관이 풀이의 출발점이 된다.