용암동 중2수학과외

용암동 중2수학과외에서 확인한 경우의 수 오류

용두암현대1차아파트와 내덕시영아파트가 있는 용암동 생활권에서 중2수학과외를 진행하던 중, 학생의 확률 풀이를 뒤에서부터 살펴보는 장면이 있었습니다. 원봉중학교, 운동중학교, 용암중학교, 용아중학교가 포함된 생활권이라는 배경보다 중요한 것은 문제 속 경우를 빠짐없이 세면서도 같은 경우를 두 번 세지 않는 판단이었습니다.

완성된 풀이를 거꾸로 읽다

문제는 주머니에 빨간 공 2개, 파란 공 1개가 있을 때 공을 두 번 꺼내는 경우를 세는 내용이었습니다. 학생은 첫 번째 공과 두 번째 공의 색을 나누어 적었습니다. 종이에 빨강-빨강, 빨강-파랑, 파랑-빨강, 파랑-파랑을 차례로 쓴 뒤, 빨간 공이 두 개라는 점을 이용해 가능한 경우를 다시 표시했습니다.

학생은 마지막에 “빨간 공이 한 번 이상 나오는 경우는 3가지이므로 전체 4가지 중 3가지”라고 적었습니다. 그런데 빨강-빨강을 실제로 만들 수 있는지, 공을 꺼낸 뒤 다시 넣는지에 따라 전체 경우를 세는 방식이 달라질 수 있었습니다. 학생은 풀이를 끝까지 쓴 뒤 답만 고치려 했지만, 우리는 계산 결과가 아니라 첫 번째 분기부터 거꾸로 확인했습니다.

“틀린 답이 나온 마지막 줄보다, 경우를 나누기 시작한 첫 줄에서 어떤 선택을 했는지 찾아보자.”

학생이 각 줄에 동그라미를 치며 거꾸로 올라가자 가장 먼저 어긋난 판단이 드러났습니다. ‘빨간 공이 한 번도 나오지 않는 경우’를 파란-파랑 한 가지로 세어 놓고도, 여사건을 구한 뒤 1에서 빼는 과정을 적지 않은 채 곧바로 3이라고 결론 내린 것이었습니다. 뒤의 나열 자체가 전부 잘못된 것이 아니라, 원하는 경우와 원하지 않는 경우를 연결하는 마지막 판단을 빠뜨린 일이었습니다.

처음 어긋난 한 줄만 고치기

학생이 이미 적어 둔 전체 경우 표는 그대로 두었습니다. 대신 표 아래에 ‘빨간 공이 한 번 이상 나오는 경우’와 ‘빨간 공이 한 번도 나오지 않는 경우’를 구분해 표시했습니다. 전체 경우를 4가지, 빨간 공이 한 번도 나오지 않는 경우를 1가지로 적은 다음, 원하는 경우를 전체 경우 4에서 원하지 않는 경우 1을 빼서 3가지로 정리했습니다.

이 교정은 새로운 풀이법을 여러 개 덧붙이는 방식이 아니었습니다. 학생이 직접 나열한 경우는 유지하고, 여사건을 사용했다면 1에서 빼야 한다는 한 판단만 바로잡았습니다. 이어서 각 경우를 손가락으로 짚으며 빨강-파랑과 파랑-빨강을 서로 다른 경우로 세는 이유도 말하게 했습니다. 두 번의 꺼내기에서 순서가 달라졌기 때문이라고 설명한 뒤, 같은 경우를 반복해서 적지 않았는지 표의 각 칸을 다시 확인했습니다.

표가 바뀌어도 같은 판단을 세우는 연습

다음 문제에서는 색깔을 직접 나열하지 않고, 첫 번째 꺼낸 공과 두 번째 꺼낸 공을 행과 열로 나눈 표가 제시되었습니다. 표 안에는 빨간 공이 한 번 이상 포함된 칸만 표시되어 있었고, 질문은 그 반대인 ‘파란 공만 나오는 경우의 비율’을 구하는 것이었습니다.

• 학생은 먼저 표 전체 칸을 세어 가능한 전체 경우를 확인했습니다.
• 빨간 공이 들어간 칸을 원하는 경우로 착각하지 않고, 질문이 파란 공만 나오는 경우인지 문장에 밑줄을 그었습니다.
• 파란-파랑에 해당하는 칸 하나를 찾은 뒤, 전체 경우와 비교해 그 비율을 적었습니다.
• 표에서 같은 색 조합이 반복되어 보이는 부분은 첫째와 둘째 위치가 다르면 별개의 경우인지 확인했습니다.

이번에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 나열식 풀이를 표의 행과 열로 바꾼 문제였습니다. 또한 ‘한 번 이상’이 아니라 ‘둘 다 파란색’이라는 질문으로 방향을 바꾸었습니다. 학생은 빨간 공이 포함된 칸을 모두 세고 1에서 빼려던 이전 판단을 그대로 적용하지 않고, 이번에는 질문에 해당하는 칸을 직접 찾아 전체 경우와 비교했습니다. 문제의 표현이 달라져도 먼저 전체 경우와 원하는 경우를 구분해야 한다는 점을 풀이 첫 줄에 적었습니다.

힌트 없이 시작한 최종 검증

수업 끝에는 풀이 중간을 가린 새 문제를 건넸습니다. 주머니에 초록 공 1개와 노란 공 2개가 있고, 공을 두 번 꺼낼 때 적어도 한 번 노란 공이 나오는 경우를 묻는 문제였습니다. 학생은 도움을 기다리지 않고 “먼저 전체 경우를 표로 만들고, 노란 공이 한 번도 안 나오는 경우를 따로 확인하겠다”고 말했습니다.

학생은 초록-초록, 초록-노랑, 노랑-초록, 노랑-노랑처럼 위치에 따른 경우를 적고, 실제 공의 구성상 가능한 경우만 남겼습니다. 이어 노란 공이 한 번도 나오지 않는 경우를 기준으로 세어 전체에서 빼는 과정을 스스로 설명했습니다. 마지막에는 직접 나열한 전체 경우의 수와 여사건으로 계산한 원하는 경우의 수를 비교하고, 표에서 표시된 칸의 개수와도 맞는지 검산했습니다.

답을 맞힌 사실보다 중요한 확인은 첫 판단을 스스로 세운 점이었습니다. 학생은 “경우를 세기 전에 전체 경우와 질문에 맞는 경우를 나누고, 여사건을 쓰면 반드시 전체에서 빼야 한다”고 풀이 이유를 말했습니다. 용암동중2수학과외에서 이어진 이 장면은 중복 없이 나열하는 과정이 단순한 목록 작성이 아니라, 각 경우의 기준과 질문의 방향을 끝까지 확인하는 일임을 보여 주었습니다.