용암동 중1수학과외

용암동 중1수학과외에서 이어 간 다각형 외각의 합 풀이

학생은 오각형의 외각 중 네 각이 70°, 80°, 110°, 60°로 주어지고 나머지 한 각을 구하는 문제를 풀고 있었다.

답보다 먼저 되짚어 본 한 줄

학생은 그림의 바깥쪽 각을 차례로 표시한 뒤, 다음과 같이 적었다.

70+80+110+60=320, 따라서 남은 외각은 180-320=-140

계산 결과가 이상했지만, 오류는 마지막 뺄셈에서 시작된 것이 아니었다. 학생은 오각형의 외각 전체가 180°라고 판단한 채 계산을 시작했다. 다각형의 변을 따라 한 바퀴 돌면 방향이 한 바퀴만큼 바뀌므로, 외각의 합은 변의 개수와 관계없이 360°라는 조건을 놓친 것이다.

이미 주어진 네 각을 더한 과정은 그대로 두고, 기준이 되는 전체 합만 바로잡았다.

70+80+110+60=320
남은 외각=360-320=40

이제 각 외각이 양수이고, 네 각과 남은 각을 합하면 360°가 되는 것도 확인했다. 학생은 답을 고친 뒤에도 그림에서 외각이 어느 방향으로 표시되었는지 다시 살폈다. 선분의 연장선과 안쪽 각을 혼동하면 같은 숫자라도 다른 각을 계산할 수 있기 때문이다.

그림을 돌리고 질문을 바꿔 다시 적용하기

다음 문제에서는 같은 오각형 그림을 90° 돌려 놓고, 외각 하나가 물음표로 표시되어 있었다. 이번에는 각의 순서가 그림에서 시계 방향으로 바로 보이지 않고, “물음표가 붙은 꼭짓점에서 한 바퀴 도는 동안 나머지 외각의 합은 얼마인가?”라고 물었다.

학생은 그림의 위치가 바뀌었다고 해서 합의 기준도 달라지는지 잠시 멈춰 확인했다. 꼭짓점을 위에서부터 읽지 않고, 한 꼭짓점에서 출발해 변을 따라 이동하며 각을 표시했다. 주어진 외각을 표처럼 정리해 55°, 125°, 75°, 65°로 적은 뒤, 먼저 알려진 각의 합을 계산했다.

55+125+75+65=320
물음표가 붙은 외각=360-320=40

이번에는 단순히 숫자만 바꾼 것이 아니라, 회전된 도형에서 각의 위치를 다시 읽고 질문의 방향을 바꾸어 같은 원리를 사용했다. 학생은 “도형이 돌아가도 바깥쪽을 따라 한 바퀴 도는 변화량은 360°”라고 풀이 옆에 직접 적었다.

조건을 분리해 생긴 혼동을 없애다

주말 누적 복습에서는 표에 외각과 내각이 함께 제시된 문제를 만났다. 학생은 표의 숫자를 모두 더하려다가, 110°로 적힌 내각까지 외각의 합에 넣으려 했다. 이번에는 계산을 멈추고 각 이름부터 확인했다. 변의 연장선과 이루는 바깥쪽 각만 동그라미로 표시하고, 도형 안쪽에 있는 각은 네모로 구분했다.

그 결과 외각은 80°, 70°, 100°, 50°였고, 나머지 외각을 구하는 식은 다음처럼 세웠다.

80+70+100+50=300
360-300=60

내각 110°를 제외한 이유도 “이번 질문은 오각형의 외각 합에서 빠진 한 각을 찾는 것이기 때문”이라고 설명했다. 그림의 방향이나 조건이 놓인 순서보다, 실제로 어떤 각을 묻는지가 먼저라는 점을 풀이 과정에 남긴 셈이다.

힌트 없이 다시 세운 검산

며칠 후 용암동과외 수업에서 학생에게 새로운 그림과 표를 함께 제시하고 별도의 단서를 주지 않았다. 학생은 먼저 외각의 표시만 골라낸 뒤, 주어진 값의 합을 계산하고 360°에서 빼는 순서를 스스로 정했다.

외각의 합은 한 바퀴이므로 360°이다.
45+95+85+75=300
구하려는 외각은 360-300=60°

이어 네 각과 자신이 구한 각을 다시 더해 360°가 되는지 확인했다.

45+95+85+75+60=360

학생은 “처음 오답은 180°를 전체 합으로 잡은 데서 생겼고, 이번에는 외각만 분리한 다음 한 바퀴의 합과 비교했다”고 설명했다. 회전된 그림에서도 외각의 위치를 다시 표시하고, 표로 제시된 조건에서도 질문에 해당하는 각만 골라 원래 합에 대입해 확인한 것이다.

용암동중1수학과외에서는 이처럼 정답만 기록하지 않고, 첫 판단이 어디서 어긋났는지와 같은 개념을 다른 모양의 문제에서 어떻게 다시 세우는지까지 풀이에 남긴다.