용암동 고1수학과외
용암동 고1수학과외: 행렬의 크기를 역으로 추적하는 검토
행렬식 계산보다 먼저 멈춰야 했던 지점은 행렬의 크기였다. 학생은 곱셈 결과의 크기를 보고 원래 행렬의 행과 열을 거꾸로 추적하려 했지만, 행과 열을 바꾸어 적으면서 곱셈이 가능한 식과 불가능한 식을 구분하지 못했다.
결과 행렬에서 출발한 풀이가 막힌 이유
예를 들어 \(A\)가 \(2\times3\), \(B\)가 \(3\times4\)라면 \(AB\)는 \(2\times4\)이다. 가운데 수인 3이 같아야 곱할 수 있고, 결과의 크기는 바깥쪽 수인 \(2\times4\)가 된다. 학생은 이를 \(4\times2\)로 적어 행과 열의 역할을 뒤집었다.
행렬의 크기는 ‘행 × 열’로 읽고, 곱셈에서는 앞 행렬의 열과 뒤 행렬의 행이 같아야 한다.
교정할 때는 식을 계산하기 전에 각 행렬의 크기에서 행과 열에 표시를 하게 했다. \(A_{2\times3}B_{3\times4}\)처럼 적어 두면 가운데 차원이 연결되는지와 결과의 크기가 어디에서 나오는지가 한눈에 드러난다.
표로 제시된 조건을 행렬식으로 옮기기
이후에는 두 집단의 자료를 표로 제시하고, 이를 행렬 \(P\)와 \(Q\)의 곱으로 나타내게 했다. 단순히 숫자를 계산하는 대신 “\(P\)의 열 수와 \(Q\)의 행 수가 왜 같아야 하는가”를 문장으로 바꾸어 쓰게 하면서, 행렬 크기를 결과에 맞춰 외우는 습관에서 벗어나도록 했다.
곱의 결과가 \(2\times1\)이라는 조건이 주어졌을 때도 결과만 보고 임의로 원행렬을 정하지 않고, 가능한 앞 행렬의 행 수와 뒤 행렬의 열 수를 구분했다. 표현이 표에서 식으로 바뀌어도 같은 크기 규칙을 적용할 수 있는지를 확인했다.
새 크기 조건에서의 독립 확인
- \(C\)가 \(3\times2\), \(D\)가 \(2\times5\)이면 \(CD\)는 \(3\times5\)이다.
- \(D C\)는 \(5\times3\)이므로 두 곱은 크기부터 서로 다르다.
- 따라서 \(CD\)와 \(DC\)를 같은 행렬처럼 다룰 수 없다.
마지막에는 계산 결과를 다시 구하는 대신, 새로 제시된 행렬 크기에서 각 곱의 가능 여부와 결과 크기를 따로 판정하게 했다. 계산하지 않아도 곱셈의 성립 조건과 결과의 행·열 수가 일치하는지 확인하면서, 행렬의 크기를 역방향으로 추적하는 기준을 처음 보는 문제에도 적용했다.