감전동 고2수학과외







극소값이 음수라는 판단이 틀린 이유
감전동과외에서 극대와 극소를 다룰 때 학생들이 자주 하는 실수는 함수값의 부호만 보고 극소를 결정하는 것이다. 하지만 극소는 값이 음수인지가 아니라, 도함수의 부호가 어떻게 바뀌는지로 판정한다.
학생 풀이 기록
함수 \(f(x)=x^3-3x\)의 도함수는 \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)이다. 학생은 \(x=1\)에서 함수값이 \(f(1)=-2\)이므로 극소라고 답했다.
결과는 우연히 맞지만, “함수값이 음수이므로 극소”라는 근거는 잘못되었다. 함수값의 부호는 그래프의 높이를 나타낼 뿐, 주변에서 올라가는지 내려가는지를 알려 주지 않는다.
도함수 부호변화로 위치를 판정하기
| 구간 | \(f'(x)\)의 부호 | 함수의 변화 |
|---|---|---|
| \(x<-1\) | + | 증가 |
| \(-1<x<1\) | - | 감소 |
| \(x>1\) | + | 증가 |
극대와 극소의 구분
\(x=-1\)에서는 도함수 부호가 \(+\to-\)로 바뀌므로 극대이다. 이때 극대값은 \(f(-1)=2\)이다.
\(x=1\)에서는 도함수 부호가 \(-\to+\)로 바뀌므로 극소이다. 따라서 극소의 위치는 \(x=1\), 극소값은 \(-2\)이다.
위치와 값을 뒤바꾸지 않기
“극소”라는 말은 먼저 위치 \(x=1\)을 가리킨다. 그 위치에서의 함수값이 극소값 \(-2\)이다. 따라서 답을 요구하는 표현에 따라 구분해야 한다.
- 극소가 되는 \(x\)의 값: \(1\)
- 극소값: \(-2\)
최종 검증
그래프는 \(x=-1\)에서 봉우리, \(x=1\)에서 골짜기를 만든다. 골짜기의 높이가 \(y=-2\)이므로 극소값은 음수일 수 있다. 핵심 기준은 함수값의 부호가 아니라 도함수 부호의 \(-\to+\) 변화이다.
같은 기준을 새로운 문제에도 적용하면, 도함수가 \(x=a\)에서 \(-\to+\)로 바뀌는지 확인한 뒤 극소의 위치와 그때의 함수값을 차례로 구할 수 있다.