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감전동 고2수학과외

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극소값이 음수라는 판단이 틀린 이유

감전동과외에서 극대와 극소를 다룰 때 학생들이 자주 하는 실수는 함수값의 부호만 보고 극소를 결정하는 것이다. 하지만 극소는 값이 음수인지가 아니라, 도함수의 부호가 어떻게 바뀌는지로 판정한다.

학생 풀이 기록

함수 \(f(x)=x^3-3x\)의 도함수는 \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)이다. 학생은 \(x=1\)에서 함수값이 \(f(1)=-2\)이므로 극소라고 답했다.

결과는 우연히 맞지만, “함수값이 음수이므로 극소”라는 근거는 잘못되었다. 함수값의 부호는 그래프의 높이를 나타낼 뿐, 주변에서 올라가는지 내려가는지를 알려 주지 않는다.

도함수 부호변화로 위치를 판정하기

구간\(f'(x)\)의 부호함수의 변화
\(x<-1\)+증가
\(-1<x<1\)-감소
\(x>1\)+증가

극대와 극소의 구분

\(x=-1\)에서는 도함수 부호가 \(+\to-\)로 바뀌므로 극대이다. 이때 극대값은 \(f(-1)=2\)이다.

\(x=1\)에서는 도함수 부호가 \(-\to+\)로 바뀌므로 극소이다. 따라서 극소의 위치는 \(x=1\), 극소값은 \(-2\)이다.

위치와 값을 뒤바꾸지 않기

“극소”라는 말은 먼저 위치 \(x=1\)을 가리킨다. 그 위치에서의 함수값이 극소값 \(-2\)이다. 따라서 답을 요구하는 표현에 따라 구분해야 한다.

  • 극소가 되는 \(x\)의 값: \(1\)
  • 극소값: \(-2\)

최종 검증

그래프는 \(x=-1\)에서 봉우리, \(x=1\)에서 골짜기를 만든다. 골짜기의 높이가 \(y=-2\)이므로 극소값은 음수일 수 있다. 핵심 기준은 함수값의 부호가 아니라 도함수 부호의 \(-\to+\) 변화이다.

같은 기준을 새로운 문제에도 적용하면, 도함수가 \(x=a\)에서 \(-\to+\)로 바뀌는지 확인한 뒤 극소의 위치와 그때의 함수값을 차례로 구할 수 있다.

감전동 고2수학과외 학부모 후기

계산 숙제를 펼쳐 보니 긴 조건을 그대로 옮겨 적은 게 아니라, 필요한 내용만 식 옆에 짧게 적어 두었더라고요. 다 확인한 부분에는 작은 표시도 하나씩 남아 있더라고요. 예전에는 오답을 봐도 한 군데만 대충 다시 확인하는 일이 많았는데, 이번에는 문제에서 꼭 필요한 조건을 골라내는 모습이 보였습니다. 방학 숙제를 시작하던 오전, 책상 위 문제집에 낯선 메모가 보여서 살펴보게 됐어요. 문제 조건을 아이 나름대로 짧은 말로 바꿔 적어 둔 흔적이었습니다. 긴 문장을 전부 베껴 쓰지 않고 식을 세우는 데 필요한 부분만 남겨 둔 게 눈에 들어왔어요. 감전동 수학과외 관련해서 자료를 찾아보던 때에도 이런 장면을 상상하진 못했는데, 실제로는 다음 계산 문제에서도 같은 식으로 조건 옆을 간단히 정리하고 확인 표시까지 해 두었어요.

★★★★★학부모 후기

새 학습지를 풀던 저녁, 아이가 계산을 전부 지우지 않고 막히기 직전의 줄을 찾아 그 부분부터 다시 손을 대고 있더라고요. 마지막에는 다시 확인할 곳 하나만 작게 표시해 두었어요. 감전동 수학과외 이야기를 나누던 중이라 그런지, 저는 그 장면이 유난히 눈에 띄었습니다. 책상 서랍을 정리하다가 비슷한 모습을 또 보게 됐어요. 공부가 끝난 줄 알았던 긴 계산 문제를 처음부터 새로 쓰는 대신, 틀린 흔적이 남은 앞부분으로 돌아가 이어서 풀고 있었습니다. 예전에는 다시 볼 내용을 말로만 해두고 종이나 문제지에는 아무 표시도 없었거든요. 이번에는 계산 과정을 통째로 없애지 않고 어느 줄에서 다시 살펴볼지 남겨 두었어요. 새 문제에서도 같은 식으로 오류 직전까지 찾아간 뒤 풀이를 이어가는 모습이 보였습니다.

★★★★★학부모 후기

문제집을 한쪽으로 밀어두려던 순간, 아이가 수업 준비물을 챙기다가 아까 풀었던 문제를 다시 펼치더라고요. 숫자 몇 개를 가린 뒤 처음 봤을 때와 같은 판단으로 풀 수 있는지 확인하고 있었습니다. 그냥 끝낸 문제로 넘길 줄 알았는데, 그 장면은 의외로 눈에 띄었어요. 예전에는 한 번 푼 자료에서 다시 볼 문제를 스스로 고르는 일이 거의 없었거든요. 그런데 이날은 숫자가 그대로 보이지 않게 해놓고도 풀이의 판단이 남아 있는지 따져 보더라고요. 감전동 수학과외를 알아보던 중에도 이런 모습을 집에서 볼 수 있을까 싶었는데, 수업과는 별개로 눈에 들어온 행동이었습니다. 새로운 조건이 붙은 문제를 읽을 때도 숫자 일부를 가린 채 같은 방식으로 다시 풀어 보게 됐어요. 여러 내용을 한꺼번에 붙이지 않고, 필요한 한 부분만 남겨 확인하는 모습이 마지막까지 이어졌습니다.

★★★★★학부모 후기

감전동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 모르는 문제를 예전처럼 숨기지 않고 먼저 보여 주기 시작했습니다. 숙제하다 틀린 문제가 여러 개 나온 날에도 선생님은 답을 바로 고치기보다 어디서 생각이 달라졌는지 함께 찾아보고, 어려운 부분은 무리하게 넘기지 않으셨습니다. 집에서도 수업 중 궁금했던 내용을 먼저 이야기하는 모습이 보여 성적보다 반가운 변화였습니다.

★★★★★학부모 후기

감전동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 답지를 먼저 찾는 일이 눈에 띄게 줄었습니다. 새 학기 준비 때 숙제가 많아 부담스러워하자 선생님이 양을 조절하고, 진도가 빠른 날에는 복습과 오답 확인으로 채워 주셨습니다. 시험기간에도 일정에 맞춰 계획을 다시 세우는 모습이 한결 편안해 보여 만족스러웠습니다.

★★★★★학부모 후기

감전동에서 수학과외를 시작한 뒤, 아이가 모르는 문제를 만나도 예전처럼 답만 맞히고 넘어가려 하지 않아 기억에 남았습니다. 선생님은 밀린 숙제를 한꺼번에 재촉하지 않고 먼저 볼 문제를 함께 정해 주셨고, 아이가 다시 질문하기 편한 분위기를 만들어 주셨습니다. 시험기간에도 해야 할 복습이 분명해져 수업 후 스스로 책상에 앉는 모습이 눈에 띄었습니다.

★★★★★학부모 후기