감전동 고등수학과외
감전동 고등수학과외에서 조합 단원을 공부할 때 학생들이 자주 놓치는 부분은 계산보다 ‘선택한 대상을 서로 구별하는가’에 있다. 뉴삼성아파트와 모라주공1단지 주변에서 고등수학을 공부하는 학생도 “몇 개를 고르는가”만 보고 곧바로 조합 기호를 쓰기 쉽다. 주례여자고등학교, 사상고등학교 학생의 풀이를 지도할 때도 이 판단을 먼저 확인하면 경우의 수와 확률 문제의 첫 줄이 달라진다.
12/25라는 답을 가리면 무엇부터 복원할까
한 학생에게 확률 문제의 결론인 P(A)=12/25만 남겨 두고, 그 앞의 경우의 수 계산과 근거식 번호를 가려 보았다. 학생은 문제를 다시 읽은 뒤 “아마 순서를 고려하지 않는 선택이었을 것”이라고 추측해 보기를 골랐다. 그러나 시간 사용 기록도, 실제 선택 대상의 성격도 확인하지 않은 상태였다. 답을 맞히는 것과 판단 근거를 복원하는 것은 다른 작업이다.
학생이 처음 멈춘 순간은 ‘29개 중 3개 선택’이라는 문장을 보고 29×28×27을 적은 때였다. 세 명을 뽑더라도 발표 순서나 자리 배치가 주어지지 않았는데, 첫 번째로 뽑힌 대상과 두 번째로 뽑힌 대상을 다른 경우로 세고 있었다. 이어서 12개 중 4개, 14개 중 6개도 같은 방식으로 계산하려 했다. 오류는 계산 실수가 아니라 선택 대상의 구별 가능성을 확인하지 않고 곱셈부터 시작한 데서 생겼다.
첫 줄을 고치는 교정 기록
풀이를 지우고 다시 쓰게 하지 않았다. 이미 적은 식 옆에 “이 선택에서 순서가 결과를 바꾸는가?”라는 질문을 붙였다. 세 명이 뽑힌 뒤 그들을 1번, 2번, 3번으로 구분하지 않는다면 {가, 나, 다}와 {나, 가, 다}는 같은 선택이다. 따라서 29×28×27은 같은 세 대상을 3!번씩 중복 계산한다.
학생은 이 중복을 나누어 29×28×27÷3!로 고쳤고, 이를 29C3으로 정리했다. 같은 확인을 12개 중 4개에는 4!, 14개 중 6개에는 6!을 적용했다. 반대로 임원 선출에서 회장과 총무를 따로 뽑거나, 발표 순서를 정하는 문제라면 역할이 구별되므로 나누지 않는다. 식을 외우는 대신 대상의 이름표가 결과에 남는지를 물어보게 한 것이다.
조건을 바꾼 뒤 혼자 판단하기
다음에는 수치를 바꾸고 문항의 표현도 달리했다. 18명 중 5명을 ‘대표단’으로 뽑는 경우와, 18명 중 5명을 1번부터 5번까지 발표자로 배치하는 경우를 제시했다. 학생은 첫 문제에는 18C5를, 두 번째에는 18×17×16×15×14를 적었다. 이어 “대표단에서 특정 학생이 포함될 확률”을 묻자 전체 경우를 18C5로 두고, 특정 학생을 포함한 나머지 4명을 17명 중에서 고르는 방식으로 분자를 구성했다.
수치가 12/25가 아니고 사람 수와 뽑는 인원이 달라져도 판단 절차가 유지되는지 확인하기 위해, 20개 중 4개를 고르는 새 문제도 혼자 풀게 했다. 구별되지 않는 선택과 구별되는 배치를 한 줄씩 나란히 적은 뒤 계산하게 하자, 단순히 계수만 바뀐 문제가 아니라 조건의 의미가 바뀐 문제라는 점을 구분했다.
계산 뒤에 남은 두 가지 검증
마지막에는 답을 다시 외부에서 확인하지 않고 두 방식으로 점검했다. 먼저 구별되지 않는 선택의 전체 수를 18C5로 계산하고, 순서를 붙인 경우의 전체 수를 18P5로 계산했다. 두 값의 비가 5!인지 확인하자, 같은 다섯 명이 순서만 달라져 여러 번 세어진다는 사실이 수치로 드러났다.
확률식도 원래 조건에 재대입했다. 특정 학생을 포함하는 경우의 수와 전체 경우의 수를 비교한 뒤, 포함 확률이 5/18이 되는지 확인했다. 만약 18C5 대신 18P5를 분모에 쓰면 분자와 분모의 기준이 달라져 같은 확률이 나오지 않는다. 이 재대입은 답의 모양이 그럴듯한지를 보는 검사가 아니라, 분자와 분모가 동일한 선택 기준을 사용하는지 확인하는 과정이었다.
선택 대상의 순서가 결과를 바꾸지 않으면 조합, 역할이나 위치가 결과를 바꾸면 순열이다. 계산 전에 대상이 구별되는 방식을 한 문장으로 설명하면 첫 오류를 줄일 수 있다.
자주 묻는 질문
- ‘선택’이라는 말이 있으면 항상 조합인가요?
아니다. 선출된 사람에게 회장·총무처럼 서로 다른 역할이 부여되면 순서를 구별한다. - 이미 곱셈식으로 풀었다면 처음부터 다시 해야 하나요?
중복된 순서를 몇 번 세었는지 확인한 뒤 그 수로 나누어 조합식과 비교할 수 있다. - 확률에서 조합을 쓰는 이유는 무엇인가요?
분자와 분모의 결과를 같은 기준으로 세기 위해서다. 순서를 세지 않는 전체 경우에는 양쪽 모두 조합을 사용한다. - 구별 가능성은 숫자만 보고 판단할 수 있나요?
숫자보다 역할, 자리, 발표 순서 같은 조건을 읽어야 한다. 같은 사람이 뽑혔다는 사실만 중요하면 순서는 구별되지 않는다.