일신동 중1수학과외

일신동 중1수학과외에서 이어 간 반비례 풀이

이날 중심 내용은 한 양이 커질 때 다른 양이 일정한 비율로 작아지는 반비례 관계였다.

표보다 먼저 읽어야 했던 문장

문제는 “일정한 거리를 같은 속력으로 이동할 때 걸리는 시간은 속력에 반비례한다. 속력이 시속 4km이면 6시간이 걸린다. 속력이 시속 8km일 때 걸리는 시간을 구하여라.”였다.

학생은 문제의 숫자에 바로 동그라미를 치고 다음처럼 적었다.

4+6=10, 8+10=18이므로 10시간?

계산 자체보다 앞선 순간에 풀이가 어긋났다. 학생은 두 양이 어떤 관계인지 확인하지 않고, 주어진 수를 더해 새로운 값을 만들었다. ‘속력이 커지면 시간은 줄어든다’는 문장의 조건을 읽기 전에 숫자 계산부터 시작한 것이다.

처음 판단을 한 줄만 고쳐 보기

이미 적은 숫자를 지우고, 두 양의 이름을 먼저 나란히 썼다.

• 속력: 4km/h
• 시간: 6시간

그다음 속력이 2배가 되면 같은 거리를 이동하는 시간이 절반이 되어야 한다는 문장을 확인했다. 따라서 4와 6을 더하는 것이 아니라 두 대응값의 곱을 살펴보아야 했다.

학생은 표를 만들고 직접 채웠다.

• 속력 4, 시간 6
• 속력 8, 시간 □

반비례 관계에서는 속력과 시간의 곱이 일정하므로 4×6=24를 먼저 구했다. 이어 8×□=24를 쓰고, □=3이라고 정리했다. 이때 “속력이 4에서 8로 두 배가 되었으므로 시간은 6에서 3으로 절반이 된다”라고 풀이 옆에 이유도 적었다.

구한 값을 원래 조건에 넣어 8×3=24인지 확인하자, 처음 표에서 얻은 4×6=24와 같았다. 답만 맞춘 것이 아니라 어떤 두 값을 대응시켜야 하는지 다시 확인한 셈이다.

식이 아닌 안내문으로 바꾸어 적용하기

다음 문제에서는 식을 먼저 주지 않았다. “같은 양의 물을 3개의 수도꼭지로 채우는 데 12분이 걸린다. 수도꼭지 수를 6개로 늘리면 몇 분이 걸리는가?”라는 문장만 제시했다. 학생은 이전처럼 숫자부터 계산하지 않고, 질문을 “수도꼭지 수가 늘어날 때 걸리는 시간은 어떻게 변하는가?”로 바꾸어 읽었다.

수도꼭지 수와 시간은 반비례한다고 판단한 뒤 표를 그렸다.

• 수도꼭지 수: 3, 6
• 걸리는 시간: 12, □

3×12=36을 기준으로 두고 6×□=36을 세웠다. □=6을 얻은 뒤, 수도꼭지 수가 두 배가 되었으므로 시간이 절반이 된다는 설명을 붙였다. 이번에는 단순히 수만 바꾼 것이 아니라 문장 속 관계를 표와 식으로 옮긴 것이다.

답에서 거꾸로 조건을 점검하다

수업 후반에는 표의 한 칸이 비어 있는 문제가 나왔다. 학생은 “한 사람이 일을 하면 10시간, 두 사람이 하면 5시간”이라는 상황을 보고 사람 수와 시간을 대응시켰다. 그러나 세 사람이 걸리는 시간을 묻는 질문을 읽고도 10-3=7이라고 적으려 했다.

나는 바로 답을 알려 주지 않고, 이미 맞게 적은 두 대응값을 살펴보게 했다. 학생은 1×10=10, 2×5=10을 계산하고 “사람 수와 시간의 곱이 같으니 반비례”라고 말했다. 이어 세 사람의 시간을 □로 두고 3×□=10을 세웠다. 이때 중1 과정에서는 나누어 10/3시간이라고 표현할 수 있으며, 약 3시간 20분이라고 바꾸어 말할 수도 있음을 확인했다. 중요한 것은 7시간이 아니라 곱이 10으로 유지되는 값이라는 점이었다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

마지막 독립 문제는 표 대신 그래프와 문장으로 제시했다. “정해진 양의 사탕을 똑같이 나누어 줄 때, 받는 사람 수와 한 사람이 받는 개수의 관계를 설명하고, 4명이 9개씩 받는다면 6명일 때의 개수를 구하여라.” 학생은 그래프의 점을 먼저 보고 임의로 이어 계산하지 않았다.

받는 사람 수를 가로축, 한 사람이 받는 개수를 세로축으로 정한 뒤, 4명과 9개의 곱이 36임을 적었다. 6명일 때를 6×□=36으로 나타내 □=6을 구했다. 이어 “사람 수와 한 사람의 개수는 곱이 36으로 일정하므로 반비례한다. 6×6=36이어서 표의 관계와도 맞다”라고 스스로 설명했다.

처음의 덧셈 오류를 다시 말해 보라는 질문에도 “관계를 확인하기 전에 숫자를 계산한 것이 문제였다. 이제는 두 양의 이름과 조건을 분리하고, 대응값의 곱이 일정한지 확인한 뒤 식을 세운다”라고 답했다. 이 과정을 통해 일신동과외 수업에서는 반비례 문제의 문장, 표, 식, 그래프를 서로 바꾸어 읽고 같은 관계인지 검산하는 데 초점을 맞췄다. 일신동중1수학과외에서도 이러한 실제 풀이 흐름을 바탕으로 학생이 힌트 없이 첫 판단부터 다시 세우도록 지도할 수 있다.