산곡동 중1수학과외

산곡동 생활권에서 살펴본 정비례 문장제의 경계

산곡동과외 수업에서 학생은 산곡중학교가 포함된 생활권의 문장제 자료를 풀다가 정비례를 적용할 수 있는 경우와 그렇지 않은 경우를 구분하는 데서 막혔다. 3단지와 경남1차아파트가 있는 생활권에서 자습 시간과 푼 문제 수를 연결한 상황이었다.

한 줄의 식에서 드러난 판단

문제는 다음과 같았다. “학생이 자습한 시간과 푼 문제 수의 관계를 조사했더니 1시간에 6문제를 풀었다. 2시간, 3시간일 때 푼 문제 수를 구하고, 5시간일 때를 예상하라. 단, 준비와 휴식에 필요한 20분은 문제 풀이 시간에 포함하지 않는다.”

학생은 곧바로 공책에 문제 수=6×시간이라고 적고, 2시간은 12문제, 3시간은 18문제, 5시간은 30문제라고 계산했다. 계산 자체는 자연스러웠지만, 첫 판단에서 문제에 제시된 ‘20분의 준비와 휴식’ 조건을 식에 넣지 않은 채 모든 시간을 풀이 시간으로 본 것이 출발점이었다.

“시간이 늘면 문제 수도 6배씩 늘어난다고 생각했는데, 실제로 문제를 푸는 시간만 따져야 했어요.”

정비례인지 판단하는 기준 세우기

학생이 이미 계산한 1시간에 6문제라는 비율은 그대로 유지했다. 다만 전체 자습 시간을 바로 대입하지 않고, 먼저 문장에서 실제 풀이 시간을 찾아 표시했다. 전체 자습 시간을 t시간이라 하면 문제를 푸는 시간은 t-1/3시간이었다. 따라서 관계식은 전체 자습 시간이 아니라 풀이 시간에 대해 문제 수=6×(t-1/3)으로 나타냈다.

이 과정에서 정비례의 핵심도 다시 확인했다. 두 양의 관계가 정비례하려면 한쪽이 0일 때 다른 쪽도 0이 되고, 대응하는 두 양의 비가 일정해야 한다. 전체 자습 시간이 1/3시간일 때 문제 수는 0이므로, 전체 시간과 문제 수는 원점에서 시작하는 정비례가 아니었다. 반면 실제 풀이 시간과 문제 수를 대응시키면 0시간에는 0문제이고, 1시간에는 6문제, 2시간에는 12문제여서 비가 일정했다.

학생은 표를 고쳐 적었다.

• 전체 자습 시간: 1/3시간, 1시간 1/3, 2시간 1/3, 3시간 1/3
• 실제 풀이 시간: 0시간, 2/3시간, 5/3시간, 8/3시간
• 문제 수: 0문제, 4문제, 10문제, 16문제

이 표를 식에 넣어 보면 실제 풀이 시간이 5/3시간일 때 6×5/3=10이므로 표의 값과 일치했다. 단위도 시간과 문제 수를 따로 적어, 20분을 1/3시간으로 바꾼 이유를 설명했다.

표에서 그래프로, 그래프에서 문장으로

다음 활동에서는 표현을 바꾸었다. 숫자 표를 주는 대신, 가로축에 실제 문제 풀이 시간, 세로축에 푼 문제 수를 표시한 그래프를 보고 문장으로 설명하게 했다. 학생은 점 (0, 0), (1, 6), (2, 12), (3, 18)을 찍고 이 점들이 한 직선 위에 놓이며 원점을 지난다고 말했다. 이어 “실제 풀이 시간이 4시간이면 24문제를 예상할 수 있다”고 문장으로 바꾸었다.

그 뒤 조건의 순서를 바꾸어 “24문제를 풀었다면 실제 풀이 시간은 얼마인가?”라고 물었다. 학생은 문제 수를 6으로 나누어 4시간을 구하고, 전체 자습 시간은 여기에 준비와 휴식 1/3시간을 더해 4와 1/3시간이라고 답했다. 이는 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 식을 읽어 답을 예상하던 방식에서 대응값을 거꾸로 찾는 방식으로 바꾼 적용이었다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

산곡동중1수학과외의 마지막 확인에서는 새로운 문장을 제시했다. “복습을 시작한 뒤 15분은 정리하고, 그 후 일정한 속도로 문제를 푼다. 실제 풀이 30분마다 5문제를 해결한다. 전체 시간이 2시간일 때 문제 수를 구하고, 15문제를 풀려면 전체 시간이 얼마나 필요한지 설명하라.”

학생은 도움 없이 먼저 “정리 시간 15분을 전체 시간에서 빼야 한다”고 적었다. 실제 풀이 시간은 2시간-15분, 즉 1시간 45분이고, 30분의 두 배가 1시간이므로 5문제의 두 배인 10문제에 15분 동안 푼 2.5문제를 더해 12.5문제가 된다고 설명했다. 이어 15문제는 실제 풀이 시간이 90분이므로 전체 시간은 105분이라고 답했다.

마지막으로 실제 풀이 90분을 식에 넣어 5×(90÷30)=15를 확인하고, 전체 시간에서 정리 시간 15분을 다시 더했다. 학생은 “정비례는 두 양의 비가 일정한지뿐 아니라, 어떤 시간을 대응시키는지와 시작 조건이 원점인지 먼저 봐야 한다”고 풀이 이유와 검산 근거를 스스로 정리했다. 산곡동 생활권의 학습 사례는 정비례식을 계산하는 데서 끝나지 않고, 문장의 조건을 표·식·그래프로 옮긴 뒤 다시 원래 상황에 맞게 검증하는 과정으로 마무리되었다.