산곡동 고3수학과외
끝점에서 멈춘 판단을 다시 세운 산곡동 고3 수학 사례
산곡동 생활권의 한 학습상담에서 학생은 공통과목의 함수 문제와 선택과목의 미분 문제를 연결해 풀고 있었다. 그래프의 증가·감소를 읽은 뒤 최댓값까지 판단하는 유형이었지만, 계산보다 먼저 확인해야 할 경계가 풀이의 결론을 바꾸고 있었다. 인천산곡고등학교와 인천외국어고등학교가 있는 생활권에서 진행한 산곡동과외 학습에서도 이 부분을 한 문항의 정답보다 중요한 판단 기준으로 삼았다.
일반 구간의 규칙이 끝점에서 흔들리다
문제는 함수 f(x)=x³-3x²+2를 닫힌구간 [0, 3]에서 조사하고 최댓값과 최솟값을 구하는 내용이었다. 학생은 미분하여
f′(x)=3x(x-2)
를 얻은 뒤, 도함수의 부호가 바뀌는 내부점 x=2만 후보로 적었다. 0<x<2에서는 감소하고 2<x<3에서는 증가하므로 x=2에서 최솟값이 나온다는 판단이었다. 여기까지의 증가·감소 판정은 맞았지만, “최댓값은 증가하는 구간의 끝에서 결정된다”는 일반적인 설명을 그대로 적용하면서 구간의 양 끝을 후보에서 제외한 것이 최초의 오류였다.
끝점은 도함수가 0이거나 부호가 바뀌어야만 후보가 되는 점이 아니다. 닫힌구간의 최댓값·최솟값을 구할 때는 내부 임계점과 함께 양 끝값을 반드시 비교해야 한다. 실제로
- f(0)=2
- f(2)=-2
- f(3)=2
이므로 최솟값은 -2, 최댓값은 2이다. 학생의 답은 최솟값만 맞고 최댓값의 근거가 비어 있었다.
세 줄로 남긴 경계 확인
풀이 전체를 다시 길게 쓰지 않고, 학생은 다음 세 줄만 문제 옆에 남겼다.
- 주어진 구간: [0, 3]
- 내부 후보: f′(x)=0에서 x=0, 2
- 비교할 값: f(0), f(2), f(3)
여기서 x=0은 도함수의 해이면서 동시에 구간의 왼쪽 끝이고, x=3은 도함수의 해가 아니어도 오른쪽 끝이라는 점을 따로 표시했다. 핵심조건인 ‘닫힌구간’과 풀이근거인 ‘도함수의 부호’를 구분하자, 일반구간의 증가·감소 설명을 끝점에 기계적으로 확장하지 않게 되었다. 사용하지 않은 보기나 해설 문장은 옆에 선을 그어 배제했고, 계산을 고치기 전에 어떤 후보를 빠뜨렸는지부터 복원했다.
기준점을 옮긴 문제에서 다시 확인하다
같은 식의 숫자만 바꾸지 않고, 다음과 같이 표현을 바꾼 문제를 제시했다.
g(x)=f(x-1)+1을 구간 [-1, 2]에서 조사할 때 최댓값과 최솟값을 구하여라.
학생은 먼저 수평이동 전 기준점 t=x-1을 복원했다. x의 구간이 [-1, 2]이면 t의 구간은 [-2, 1]이다. 이전 문제의 [0, 3]을 그대로 기억해 계산하지 않고, 새 구간의 양 끝인 t=-2와 t=1을 다시 적었다. 또한 f′(t)=3t(t-2)이므로 이 구간 안의 내부 임계점은 t=0뿐임을 확인했다.
값을 계산하면 f(-2)=-18, f(0)=2, f(1)=0이므로 g(x)=f(t)+1의 값은 각각 -17, 3, 1이다. 따라서 최솟값은 -17, 최댓값은 3이다. 수평이동은 x좌표를 바꾸지만 함수값에 더해진 1은 모든 후보에 똑같이 반영된다는 점도 확인했다. 경계가 달라지면 후보 목록 자체가 달라질 수 있다는 사실이 핵심이었다.
힌트 없이 남은 판단
마지막 문항은 h(x)=f(x+2)-2를 구간 [-3, 0]에서 비교하는 문제였다. 학생은 해설이나 보기를 보지 않고 먼저 t=x+2를 두어 t의 범위를 [-1, 2]로 바꿨다. 그다음 양 끝 t=-1, 2와 내부 임계점 t=0을 후보로 적고, 도함수 부호가 바뀌는 영점인지 확인한 뒤 원래 변형식에 값을 대입했다.
특히 “도함수의 해만 쓰면 되는가?”라고 스스로 묻고, “닫힌구간이면 끝점을 먼저 적고 내부 후보를 추가한다”고 근거를 설명했다. 최종 답을 낸 뒤에는 후보의 x범위가 처음 주어진 [-3, 0]을 벗어나지 않는지 역추적했다. 공통과목에서 배운 구간과 함수값의 해석이 선택과목의 미분 판단으로 이어졌고, 산곡동고3수학과외에서 확인한 변화도 정답 자체보다 경계조건을 먼저 찾는 습관이었다.