기장군 고3수학과외

사인법칙에서 ‘두 각’이 생기는 순간을 끝까지 확인하기

고촌어울림도서관에서 진행한 기장군과외 수업에서 학생은 삼각형의 변과 각이 함께 주어진 사인법칙 문제를 풀다가 오답을 냈다. 풀이에는 sin B = 1까지 정확히 적혀 있었지만, 답란에는 “가능한 각 2개”라고 표시되어 있었다. 계산보다 먼저 각의 범위와 경계값을 확인했어야 하는 장면이었다.

오답에서 거꾸로 찾은 첫 갈림길

문제는 삼각형 ABC에서 a=5, b=10, A=30°일 때 B의 가능한 값을 묻는 형태로 바꾸어 제시했다. 사인법칙에 따르면

a/sin A = b/sin B이므로
sin B = b sin A/a = 10×sin30°/5 = 1이다.

학생은 이전에 보았던 “sin B=k이면 B와 180°-B를 모두 검토한다”는 규칙을 그대로 적용했다. 그래서 B=90°와 B=90°를 서로 다른 해처럼 세었다. 최초의 오류는 계산이 아니라, 일반적인 경우의 두 해 규칙을 sin B=1인 경계에까지 기계적으로 확장한 것이었다. 오답을 역으로 추적하자, 결론에 필요한 초기조건인 0°<B<180°와 런맵 B<180°를 첫 줄에서 확인하지 않은 사실이 드러났다.

일반 구간과 경계값을 분리한 기록

교정은 각의 범위 한 곳만 고치는 방식으로 진행했다. 먼저 sin B의 값이 0과 1 사이인지 확인하고, 0<sin B<1일 때에만 기준각과 180°에서 뺀 각을 각각 후보로 적는다. sin B=1이면 B=90° 하나만 남기고, sin B가 1보다 크면 삼각형 자체가 존재하지 않는다고 표시했다.

학생은 표를 다음처럼 나누어 적었다.

• 0<k<1: B=α, 180°-α를 모두 후보로 작성
• k=1: B=90°만 작성
• k>1: 가능한 각 없음

그 뒤 각 후보에 대해 런맵 B<180°를 대입해 확인했다. 별도의 복잡한 검산법은 추가하지 않고, 같은 문제를 사인법칙의 비례식과 sin B 계산 두 방식으로 한 번씩 대조했다. 부산장안고3수학과외에서 강조한 것도 공식을 더 많이 외우는 일이 아니라, 공식이 적용되는 범위를 식 옆에 남기는 행동이었다.

조건을 바꾸자 결론도 달라졌다

다음 문제에서는 A=30°, a=10, b=5로 조건의 위치를 바꾸었다. 이번에는

sin B = 5×sin30°/10 = 1/4

이므로 기준각을 α라 하면 B=α 또는 180°-α가 후보가 된다. 그러나 α≈14.5°인 반면 180°-α≈165.5°이므로, 두 번째 후보는 런맵 B≈195.5°가 되어 삼각형의 각의 합을 넘는다. 학생은 직전 문제의 수치를 기억해 답하지 않고, 각 후보를 따로 적은 뒤 합 조건으로 하나를 제거했다.

구간을 좁힌 재시험에서는 “B는 40°보다 크고 100°보다 작다”는 조건을 추가했다. sin B=1/2인 경우 후보는 30°, 150°이지만 두 값 모두 주어진 범위 밖이므로 가능한 해가 없다고 판단해야 한다. 학생은 잘못된 선택을 지우지 않고 옆에 “보조각은 범위 밖”이라고 이유를 남겼다. 이 기록 덕분에 단순히 답을 바꾼 것이 아니라, 왜 경계와 정의역이 결론을 바꾸는지 확인할 수 있었다.

힌트 없이 초기조건을 복원한 순간

마지막 4점 문항에서 학생은 풀이 중간의 사인법칙 식이 가려진 상태에서도 먼저 주어진 변과 각을 찾아 b sin A/a를 구성했다. 이어 그 값이 1인지, 1보다 작은지 확인하고, 두 번째 각을 만들기 전에 런맵 B<180°를 점검했다. 반례로 sin B=1인 경우에 두 해를 세는 판단이 틀림을 스스로 설명했으며, 결론에서 다시 “삼각형의 각 범위와 합 조건이 만족되어야 한다”고 초기조건을 역으로 복원했다. 기장군 생활권에서 이어진 이 연습은 사인법칙의 계산보다 경계에서 규칙을 멈추는 판단을 남겼다.