기장군 고1수학과외







유리함수의 기본형: 반례를 통한 판단
기장군의 한 고1 학생은 유리함수의 그래프를 보고 답의 범위를 먼저 예상했다. 식이 y=a/(x-p)+q 꼴이면 그래프가 두 갈래로 나뉜다는 점은 알고 있었지만, 분모가 0이 되는 값을 정의역에서 제외해야 한다는 내용을 풀이에 분명히 남기지 않았다.
경계값에서 드러난 한 가지 오류
학생은 다음 식을 살폈다.
y = 2/(x-1) + 3
그런데 x=1을 대입할 수 없는 이유를 단순히 “그래프가 끊어진다”라고만 적었다. 이 설명으로는 치역에서 y=3이 제외되는 이유까지 이어지지 않았다. 특히 식을 변형하는 과정에서 분모의 제한을 빠뜨리면, x=1도 해의 범위에 포함되는 것처럼 판단할 위험이 있었다.
분모가 0이 되는 값을 기준으로 다시 연결하기
교정할 때는 분모만 따로 확인해 x-1≠0, 즉 x≠1을 먼저 적었다. 이어서 식을 변형하면
(y-3)(x-1)=2
가 된다. 따라서 y=3이면 왼쪽이 0이 되어 등식이 성립할 수 없다. 이 과정을 통해 정의역의 제외값 x=1과 치역의 제외값 y=3이 각각 어디에서 생기는지 연결했다. 단, 기본형을 말할 때는 a≠0이라는 조건도 함께 확인해야 한다.
식의 모양을 바꾸어 적용한 장면
다음에는 같은 내용을 점의 판정 문제로 바꾸었다. 점 (3,4)가 그래프 위에 있는지 묻자, 학생은 그래프의 모양만 추측하지 않고 원식에 좌표를 넣었다.
2/(3-1)+3 = 4
계산 결과가 4이므로 점은 그래프 위에 있다. 반대로 x=1을 포함한 점은 분모가 0이 되어 애초에 판정 대상이 될 수 없다고 정리했다. 숫자만 바꾼 것이 아니라, 함수의 범위를 읽던 문제를 좌표가 그래프 위에 있는지 판단하는 문제로 전환한 것이다.
처음 보는 변형에서의 확인
마지막에는 식을 y에 대해 푸는 대신 x에 대해 정리했다.
x = 1 + 2/(y-3)
이 식은 y=3일 때 정의되지 않는다. 따라서 원래 식에서 얻은 치역의 제한 y≠3이 역변형에서도 유지되는지 확인할 수 있었다. 학생은 그래프의 외형이 아니라 분모의 제한과 변형된 식의 성립 조건을 비교해 유리함수의 기본형을 판단했다.