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기장군 고1수학과외

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유리함수의 기본형: 반례를 통한 판단

기장군의 한 고1 학생은 유리함수의 그래프를 보고 답의 범위를 먼저 예상했다. 식이 y=a/(x-p)+q 꼴이면 그래프가 두 갈래로 나뉜다는 점은 알고 있었지만, 분모가 0이 되는 값을 정의역에서 제외해야 한다는 내용을 풀이에 분명히 남기지 않았다.

경계값에서 드러난 한 가지 오류

학생은 다음 식을 살폈다.

y = 2/(x-1) + 3

그런데 x=1을 대입할 수 없는 이유를 단순히 “그래프가 끊어진다”라고만 적었다. 이 설명으로는 치역에서 y=3이 제외되는 이유까지 이어지지 않았다. 특히 식을 변형하는 과정에서 분모의 제한을 빠뜨리면, x=1도 해의 범위에 포함되는 것처럼 판단할 위험이 있었다.

분모가 0이 되는 값을 기준으로 다시 연결하기

교정할 때는 분모만 따로 확인해 x-1≠0, 즉 x≠1을 먼저 적었다. 이어서 식을 변형하면

(y-3)(x-1)=2

가 된다. 따라서 y=3이면 왼쪽이 0이 되어 등식이 성립할 수 없다. 이 과정을 통해 정의역의 제외값 x=1과 치역의 제외값 y=3이 각각 어디에서 생기는지 연결했다. 단, 기본형을 말할 때는 a≠0이라는 조건도 함께 확인해야 한다.

식의 모양을 바꾸어 적용한 장면

다음에는 같은 내용을 점의 판정 문제로 바꾸었다. 점 (3,4)가 그래프 위에 있는지 묻자, 학생은 그래프의 모양만 추측하지 않고 원식에 좌표를 넣었다.

2/(3-1)+3 = 4

계산 결과가 4이므로 점은 그래프 위에 있다. 반대로 x=1을 포함한 점은 분모가 0이 되어 애초에 판정 대상이 될 수 없다고 정리했다. 숫자만 바꾼 것이 아니라, 함수의 범위를 읽던 문제를 좌표가 그래프 위에 있는지 판단하는 문제로 전환한 것이다.

처음 보는 변형에서의 확인

마지막에는 식을 y에 대해 푸는 대신 x에 대해 정리했다.

x = 1 + 2/(y-3)

이 식은 y=3일 때 정의되지 않는다. 따라서 원래 식에서 얻은 치역의 제한 y≠3이 역변형에서도 유지되는지 확인할 수 있었다. 학생은 그래프의 외형이 아니라 분모의 제한과 변형된 식의 성립 조건을 비교해 유리함수의 기본형을 판단했다.

기장군 고1수학과외 학부모 후기

수학 노트를 정리하다가 멈춰 있는 부분이 보여서 봤더니, 전날 풀었던 서술형 문제에서 해결하지 못한 곳에 작은 표시가 남아 있더라고요. 기장군 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 식으로 자기 풀이를 다시 살피는 모습이 눈에 띄었어요. 저녁을 먹고 방에 들어갔을 때는 제가 먼저 묻기도 전이었는데, 아이가 서술형 답안을 통째로 지우지 않고 중간에 적었던 식부터 지운 뒤 그 부분을 다시 써 보고 있었습니다. 예예전에는 다시 확인할 일이 생겨도 어디부터 볼지 정하지 않은 채 답안 전체를 건드리곤 했거든요. 그런데 이번에는 처음부터 다시 시작하지 않고 잘못된 중간식에 손을 대더라고요. 다음 날 노트를 정리할 때도 같은 자리부터 다시 적은 뒤, 끝내 풀리지 않은 부분만 표시해 두었습니다.

★★★★★학부모 후기

새 단어 목록을 받아온 날에는 해설과 자기 풀이를 줄줄이 대조하지 않고, 풀이가 갈라진 첫 부분부터 찾아보고 있더라고요. 그리고 나중에 다시 볼 곳도 하나 정해 두었어요. 예예전에는 자신이 왜 그렇게 고르고 계산했는지 따로 적어두는 일이 없었거든요. 주말 아침 간식을 챙겨 들고 방에 들어갔다가 조금 뜻밖의 모습을 보게 됐어요. 공부를 끝낸 아이가 해설지와 본인 풀이를 옆에 펼쳐 놓고, 전부 훑는 대신 서로 달라진 한 줄만 짚어서 살피고 있었습니다. 기장군 수학과외 이야기를 나누며 보게 된 장면인데, 답을 맞혔는지만 보는 게 아니라 자기 계산이 어디서 달라졌는지 먼저 확인하는 모습이 눈에 띄었어요. jotting.

★★★★★학부모 후기

기장군에서 수학 과외를 시작한 뒤, 학교 행사로 공부 시간이 줄어든 날에도 아이가 먼저 책상에 앉는 모습이 눈에 띄었습니다. 선생님은 수업 끝에 그날 복습할 내용을 몇 가지로 줄여 주셔서 부담을 덜어 주셨고, 한 문제에 막혀도 수학을 통째로 포기하지 않는 변화가 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★☆학부모 후기

새 학기를 앞두고 공부 시간을 다시 정하는 모습을 보니, 예전처럼 어려운 문제를 몇 개 풀다 포기하지 않고 틀린 문제부터 다시 살펴보더군요. 기장군 수학과외에서는 학교 진도보다 앞서가려 하지 않고 현재 범위를 차분히 정리하며 숙제량도 아이에게 맞게 조절해 주셨습니다. 모르는 것을 숨기지 않고 선생님께 편하게 묻는 모습이 생겨 성적보다 먼저 태도의 변화를 느꼈습니다.

★★★★★학부모 후기

시험이 끝난 주말, 아이가 먼저 틀린 문제를 다시 펼쳐 보는 모습이 눈에 들어왔습니다. 예전에는 복습을 싫어하고 질문도 준비하지 않았는데, 선생님이 기장군 수업에서 맞힌 문제도 풀이를 짧게 설명해 보게 하며 그날 할 일과 다음에 볼 내용을 나눠 주신 덕분인지 조금씩 달라졌습니다. 설명이 어렵다고 하면 편하게 다시 물어보고 일정에도 차분히 적응하는 모습이 보기 좋았습니다.

★★★★★학부모 후기