기장군 고등수학과외

기장군 고등수학과외에서는 합성함수 문제를 풀 때 계산 속도보다 함수가 적용되는 순서를 눈으로 확인하는 연습을 먼저 진행한다. 부산장안고등학교와 정관고등학교 학생들이 사용하는 학교 자료에서도 합성함수는 단순 대입처럼 보이지만, 안쪽 함수와 바깥 함수의 역할을 뒤바꾸는 순간 풀이 전체의 근거가 흔들릴 수 있다. 고촌어울림도서관이나 당사 양경마을 주변에서 공부하는 학생도 같은 유형을 만났을 때 식을 빨리 전개하기보다 화살표의 방향을 기록하는 방식으로 접근한다.

f(5)=13을 보고 멈춰야 하는 순간

한 학생에게 f(5)=13이 주어지고, 합성함수의 값을 설명하라는 문제가 제시됐다. 학생은 먼저 5를 함수에 넣어 13이 나왔다는 사실을 적은 뒤, 곧바로 “13을 다시 넣으면 합성함수 값이 된다”고 판단했다. 이 판단은 숫자 자체만 따라간 결과였다. 어떤 함수가 먼저 작용했는지, 13이 원래 함수의 출력인지 다음 함수의 입력인지가 빠져 있었다.

칠판에는 다음처럼 간단한 예를 놓았다.

f(x)=2x+3, g(x)=x-4

f(5)=13은 맞지만, (g∘f)(5)는 먼저 f(5)=13을 계산한 뒤 g(13)=9를 구하므로 9이다. 반대로 (f∘g)(5)는 g(5)=1을 먼저 계산하고 f(1)=5가 된다. 두 결과가 다르므로 “13이 나왔으니 합성 결과도 13을 이용해 같은 방식으로 처리한다”는 설명만으로는 부족하다.

첫 오류를 식의 안쪽에서 찾아내기

학생이 처음 잘못 쓴 줄은 다음과 같았다.

(g∘f)(5)=f(g(5))=f(13)

f(5)=13을 알고 있다는 이유로 g(5) 대신 13을 넣은 것이다. 교정할 때는 식을 통째로 지우지 않고, 괄호 안쪽부터 읽도록 했다. (g∘f)(5)는 오른쪽의 f가 먼저이므로 f(5)를 계산하고, 그 결과를 g에 넣어야 한다. 따라서

(g∘f)(5)=g(f(5))=g(13)=9

가 된다. 이 과정을 한 줄짜리 화살표로도 적었다.

5 → f → 13 → g → 9

학생은 사분면을 표시하듯 입력값과 출력값을 서로 다른 위치에 적었다. 첫 번째 칸에는 원래 입력 5, 두 번째 칸에는 f의 출력 13, 마지막 칸에는 합성함수의 최종 출력 9를 표시했다. 숫자 13이 중간 결과라는 점을 자리로 구분하자, 13을 출발점으로 다시 해석하는 실수가 줄었다.

조건을 바꾼 문제에서 혼자 적용하기

다음에는 함수와 입력을 바꾸어 풀이를 맡겼다.

f(x)=x+2, g(x)=3x, (g∘f)(-1)을 구하여라.

학생은 먼저 -1을 f에 넣어 1을 만들고, 그 결과를 g에 넣어 3을 얻었다. 이번에는 풀이를 보지 않고 “왜 g(-1)이 아니냐”를 말로 설명하게 했다. 합성 기호에서 오른쪽 함수가 먼저 실행되며, 중간값 1은 f의 출력이자 g의 입력이라는 답이 나왔다. 식으로는

(g∘f)(-1)=g(f(-1))=g(1)=3

으로 정리했다. 함수식을 전개해 g(f(x))=3(x+2)로 만든 뒤 x=-1을 대입하는 방법도 시도했지만, 처음부터 순서를 표시하는 풀이가 더 짧고 오류가 적었다.

안쪽 함수를 건너뛰면 생기는 반례

마지막에는 일부러 잘못된 규칙을 세웠다. “(g∘f)(x)에서 f를 건너뛰고 g(x)만 계산해도 된다”는 주장이다. 앞의 함수로 x=5를 넣으면 g(5)=1이지만, 실제 합성값은 g(f(5))=g(13)=9이다. 두 값 1과 9가 다르므로 안쪽 함수를 생략하는 규칙은 성립하지 않는다.

검산은 원래 함수에 결과를 다시 넣는 방식으로도 확인했다. f(5)=13이고 g(13)=9이므로 화살표를 거꾸로 읽어 5에서 13, 13에서 9로 이동한 기록과 식의 결과가 일치한다. 반면 f(g(5))는 f(1)=5이므로 순서를 바꾸면 값이 달라진다는 사실도 확인된다. 이 비교가 끝나야 학생은 계산 결과만 맞힌 것이 아니라 합성함수의 적용 구조를 이해했다고 판단할 수 있다.

자주 묻는 내용

합성함수는 항상 오른쪽부터 계산하나요?

함수의 합성 표기에서는 오른쪽 함수가 먼저 적용된다. (g∘f)(x)는 g(f(x))와 같다.

f(5)=13이 주어지면 합성함수 값도 바로 알 수 있나요?

바깥 함수 g가 무엇인지 알아야 한다. g(13)을 계산할 수 있어야 최종값을 구할 수 있다.

괄호를 생략해도 되나요?

풀이 초반에는 g(f(5))처럼 괄호를 쓰는 편이 안전하다. 중간값의 역할과 적용 순서가 분명해진다.

순서를 바꾸어도 같은 경우가 있나요?

특정 입력에서 우연히 같은 값이 나올 수는 있지만, 일반적으로 (g∘f)(x)와 (f∘g)(x)는 서로 다르다. 별도의 조건 없이 같다고 판단하면 안 된다.