구포동 중2수학과외
전개한 식을 검산하며 찾은 첫 번째 오류
구포동과외 수업에서 학생은 식의 계산 문제를 풀고도 어느 줄에서 잘못되었는지 바로 찾지 못했다. 문제는 3(2a-1)-2(a+4)를 간단히 하라는 것이었다. 구포현대아파트와 부산광역시립구포도서관이 있는 생활권의 구포중학교가 포함된 지역에서 진행한 수업이었지만, 이날의 핵심은 풀이 결과보다 식을 검산하는 방식이었다.
완성된 풀이를 뒤에서부터 읽다
학생의 공책에는 다음과 같이 적혀 있었다.
3(2a-1)-2(a+4)=6a-3-2a+4=4a+1
학생은 마지막에 a에 2를 대입해 보았다. 원래 식은 3(4-1)-2(2+4)=9-12=-3이었지만, 정리한 식은 4×2+1=9가 나왔다. 학생은 곧바로 첫 줄과 마지막 줄 사이를 다시 펼쳐 보지 않고, 마지막 계산인 4a+1에서 부호를 고치려 했다.
교사는 풀이를 처음부터 다시 쓰게 하지 않고, 완성된 식에서 한 줄씩 거꾸로 읽게 했다. “a=2일 때 두 식의 값이 같은지 확인하고, 값이 달라지는 두 식이 처음 만나는 지점을 표시해 보자”고 했다. 학생은 6a-3-2a+4에 2를 대입해 12-3-4+4=9라고 계산했다. 이미 이 줄의 값이 원래 식의 -3과 다르다는 것을 확인하면서, 오류는 그다음 계산보다 앞에 있음을 알아차렸다.
문자가 다른 항을 합친 순간
학생이 처음 잘못 선택한 판단은 -2(a+4)를 -2a+4로 바꾼 것이었다. -2를 괄호 안의 두 항에 곱해야 하는데, 뒤의 4에는 부호를 바꾸지 않고 그대로 붙였다. 6a-3-2a+4라는 줄이 그 오류가 시작된 첫 분기점이었다.
교사는 이미 맞게 처리한 3(2a-1)=6a-3은 그대로 두고, 문제의 부분만 고쳤다.
-2(a+4)=-2a-8
따라서 전체 식은 6a-3-2a-8=4a-11이 된다. 학생은 a=2를 다시 넣어 원래 식의 -3과 정리한 식 8-11=-3이 같음을 확인했다. 이번에는 괄호 앞의 수가 괄호 안의 각 항에 모두 곱해진다는 이유를 직접 말하며, 계산 결과가 맞아서가 아니라 원래 식과 같은 값을 내므로 정리식이 맞다고 설명했다.
풀이를 가린 뒤 다른 모습으로 적용하기
다음 문제에서는 전개된 중간 줄을 보여 주지 않았다.
어떤 수 a에 5를 더한 뒤 -3을 곱하고, 그 결과에서 2a-7을 뺀 식을 간단히 하시오. 또 a=1일 때 원래 표현과 정리한 표현의 값을 비교하시오.
학생은 문장을 먼저 식으로 바꾸어 -3(a+5)-(2a-7)라고 적었다. 그리고 괄호 앞의 -3과 -1을 각각 괄호 안의 모든 항에 표시했다.
-3a-15-2a+7=-5a-8
이번에는 문장 속 ‘그 결과에서 2a-7을 뺀다’는 부분을 마이너스 괄호로 옮겼고, 두 번째 괄호의 항에도 -1이 적용된다는 점을 놓치지 않았다. a=1을 넣어 원래 표현은 -3×6-(2-7)=-18+5=-13, 정리한 표현은 -5-8=-13으로 계산했다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 문장을 식으로 번역한 뒤 전개해야 했지만, 학생은 앞서 확인한 판단을 새 형태에 적용했다.
힌트 없이 재현한 최종 확인
수업 끝에는 다음 식만 제시했다.
4(1-2b)-3(b-2)
학생은 도움을 기다리지 않고 괄호 앞의 4와 -3을 각각 안쪽 항에 곱해야 한다고 먼저 말했다. 이어 4-8b-3b+6=10-11b로 정리하고, b=0을 대입했다. 원래 식은 4×1-3×(-2)=10, 정리식은 10-11×0=10이었다. 학생은 “문자를 0으로 바꿔도 두 표현의 값이 같으므로 전개 과정에서 괄호를 잘못 처리하지 않았는지 확인할 수 있다”고 검산 근거를 설명했다.
구포동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 정답을 외운 것이 아니었다. 학생은 전개식이 어긋났을 때 마지막 숫자부터 고치지 않고, 간단한 값을 대입해 값이 달라지는 첫 줄을 찾은 뒤 괄호 앞 수가 모든 항에 곱해졌는지 다시 판단했다. 이후 문장형 식과 새로운 문자식에서도 같은 검산을 스스로 시작했다.