학익동 중2수학과외
표의 변화량을 먼저 읽어 낸 중2수학 풀이
학익동의 동아풍림아파트와 두산위브아파트가 있는 생활권, 인주중학교와 인하대학교사범대학부속중학교가 포함된 지역에서 진행한 수업에서 학생은 일차함수의 표를 보고 식을 세우는 문제를 풀었다. 문제는 다음과 같았다.
x와 y의 대응을 나타낸 표에서 x가 2씩 증가할 때 y는 6씩 증가한다. 표에 x=1일 때 y=5가 주어졌다면, y를 x에 대한 식으로 나타내고 x=4일 때의 y를 구하여라.
학생은 표의 첫 줄에 적힌 x=1, y=5를 동그라미로 표시한 뒤, 예제에서 보았던 순서대로 5를 기울기처럼 식 앞에 놓았다. 이어서 x가 2 증가하고 y가 6 증가한다는 내용을 계산하지 않은 채 y=5x+b라고 적었다. 그다음 1과 5를 대입하여 5=5+b, b=0으로 정리하고 y=5x를 만들었다. x=4를 넣어 y=20이라고 답한 뒤, 표에서 다음 값이 11이어야 한다는 점과 맞지 않는 것을 발견했다.
오답보다 먼저 확인한 한 줄
계산 과정 전체를 지우지 않고, 학생이 가장 먼저 선택한 문장을 되짚었다. 문제에서 표의 x는 2씩 변하고 y는 6씩 변한다. 그런데 학생은 첫 대응값인 y=5를 기울기로 정했다. 기울기는 한 점에 붙어 있는 값이 아니라 x가 일정하게 변할 때 y가 얼마나 변하는지를 나타내는 값이라는 기준을 놓친 것이 최초의 어긋난 판단이었다.
수업에서는 이미 맞게 적은 x=1, y=5와 대입 과정은 그대로 남겨 두었다. 대신 표의 두 행을 세로로 맞춰 놓고, x의 변화에는 아래쪽 화살표로 +2, y의 변화에는 +6을 표시했다. 학생은 두 변화량을 나누어
기울기 = y의 변화량 ÷ x의 변화량 = 6 ÷ 2 = 3
이라고 직접 적었다. 그 뒤 식을 y=3x+b로 다시 세우고, 표에 있는 한 점 (1, 5)를 대입하여 5=3+b, b=2를 얻었다. 따라서 y=3x+2가 되었고 x=4를 대입하면 y=14였다. 학생은 x=1일 때 3+2=5, x가 2일 때 6+2=8, x가 3일 때 9+2=11이 되는지 표의 대응값과 나란히 적어 검산했다.
표가 아닌 문장과 그래프로 바꾸어 적용하기
같은 숫자를 반복하지 않기 위해 다음 문제에서는 표 대신 문장과 그래프의 일부를 제시했다.
어떤 일차함수의 그래프는 점 (2, 7)을 지나고, x가 1 증가할 때 y가 4 감소한다. 이 함수의 식을 구하고 y절편의 의미를 설명하여라.
학생은 이번에는 문제를 읽자마자 “x가 1 증가할 때 y가 4 감소하므로 기울기는 -4”라고 말하고 식의 첫 줄을 y=-4x+b로 정했다. 부호가 바뀌었다는 사실을 놓치지 않으려고 변화량 옆에 ‘감소’라고 적고 -4를 표시했다. 점 (2, 7)을 대입하여 7=-8+b, b=15를 계산했고 y=-4x+15를 얻었다.
질문이 식만 구하는 데서 끝나지 않았으므로 학생은 y절편도 따로 확인했다. x=0을 넣으면 y=15이므로 그래프가 y축과 만나는 점은 (0, 15)라고 설명했다. 이어서 x=2를 넣어 -8+15=7인지 확인하고, x가 1 늘어난 x=3에서는 y=3으로 줄어드는지 살폈다. 표에서 일정한 변화량을 찾았던 판단을 문장 속 변화와 그래프의 축 절편으로 옮겨 사용한 장면이었다.
힌트 없이 다시 세운 첫 판단
학익동과 용현지구 생활권을 오가는 일정에 맞춰 진행한 다음 수업에서 학생은 별도의 표시나 질문 없이 새로운 문제를 받았다.
일차함수 y=ax+b에서 x=0일 때 y=-6이고, x가 3 증가할 때 y가 9 증가한다. y=3이 되는 x의 값을 구하여라.
학생은 먼저 “x의 변화가 +3, y의 변화가 +9이므로 기울기는 9÷3=3”이라고 풀이 여백에 적었다. 이어 x=0일 때의 y값이 바로 y축과 만나는 값이므로 절편은 -6이라고 판단하여 y=3x-6을 세웠다. 목표가 y가 되는 x를 묻고 있다는 점을 확인한 뒤 3=3x-6, 3x=9, x=3으로 정리했다.
학생은 답만 말하지 않고 두 근거를 스스로 설명했다. “기울기는 표나 문장에서 x가 변한 만큼 y가 변한 비율이고, 절편은 x가 0일 때의 y값이다.” 이어 x=3을 식에 넣어 9-6=3이 되는지 확인하고, x=0을 넣어 -6이 나오는지도 검산했다. 처음 표에서 y값을 기울기로 잘못 읽었던 선택은 더 이상 반복되지 않았고, 변화량을 먼저 찾은 뒤 절편을 x=0에서 확인하는 순서를 새로운 표현의 문제에서도 혼자 재현했다.
이처럼 학익동과외 수업에서는 표의 숫자를 외우게 하기보다 변화량과 축의 만남을 실제 풀이 행동으로 확인한다. 학익동중2수학과외에서도 학생이 식, 문장, 그래프가 달라져도 같은 일차함수 판단을 스스로 세우고 검산하도록 연결해 볼 수 있다.