학익동 중1수학과외

표에서 정비례 관계를 읽고 식으로 확인한 풀이

학익동과외 수업에서 학생은 동아풍림아파트와 두산위브아파트가 있는 생활권의 상황을 소재로 한 표를 받았다. 표에는 걷는 시간과 이동한 거리가 제시되어 있었다.

시간(분)	거리(m)
2	150
4	300
6	450
8	600

문제는 “시간과 거리가 정비례하는지 판단하고, 10분일 때의 거리를 구하라”였다. 학생은 표의 숫자를 위에서부터 읽은 뒤, 2분에 150m이므로 10분에는 150×10=1500m라고 적었다. 답만 보면 그럴듯했지만, 두 양의 관계를 나타내는 기준을 확인하지 않고 한 줄의 숫자만 확대해 계산한 상태였다.

표의 대응값을 하나씩 짝지어 다시 보기

학생이 계산을 멈춘 지점은 ‘시간 1분에 해당하는 거리’를 확인하지 않은 판단이었다. 정비례에서는 한 양이 몇 배가 될 때 다른 양도 같은 배가 되어야 하며, 두 양의 비가 일정해야 한다. 따라서 표에서 시간과 거리의 같은 행을 세로로 연결하게 했다.

• 150÷2=75
• 300÷4=75
• 450÷6=75
• 600÷8=75

각 행에서 거리÷시간이 모두 75로 같았다. 학생은 이 값을 이용해 거리를 y, 시간을 x로 놓고 y=75x라고 적었다. 그 뒤 10분을 x에 넣어 y=75×10=750m를 구했다. 이전의 150×10은 2분에 대한 거리와 10분이라는 시간을 바로 곱한 것이므로, 대응하는 기준이 맞지 않았다는 점도 식 옆에 표시했다.

시간이 1분일 때의 거리를 먼저 찾고, 모든 행에서 그 값이 같은지 확인한 뒤 식을 세운다.

표를 문장과 그래프로 바꾸어 관계 확인하기

인주중학교와 인하대학교사범대학부속중학교가 포함된 생활권을 배경으로, 이번에는 표를 주지 않고 다음 문장만 제시했다. “어떤 자전거가 일정한 속도로 1분에 80m씩 이동한다. 이동 시간에 따른 거리를 나타내라.” 학생은 시간과 거리를 각각 무엇으로 정할지 먼저 적었다.

시간을 x분, 거리를 y미터로 두고 y=80x를 세웠다. x에 1, 2, 3, 4를 넣어 표를 만든 뒤, 좌표평면에 (1,80), (2,160), (3,240), (4,320)을 표시했다. 표의 대응값을 식에 넣었을 때 모두 성립하는지 확인하고, 점들이 원점에서 출발해 한 방향으로 놓이는 모습도 살폈다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라 문장 속 두 양을 찾아 표와 식, 그래프로 옮긴 것이다.

이어 질문을 바꾸었다. “거리가 560m가 되는 데 걸리는 시간은 얼마인가?” 학생은 이번에는 거리를 먼저 y에 넣어 560=80x라고 썼다. 양변을 80으로 나누어 x=7을 얻고, 7분 동안 80×7=560이므로 원래 조건과 맞는다고 설명했다. 답을 구하는 방향이 바뀌어도 두 양의 대응 관계와 일정한 비를 먼저 확인했다.

힌트 없이 새 조건에서 재현한 과정

수업 끝부분에는 표 없이 다음 조건을 제시했다. “물 3L를 담는 데 2분이 걸리는 기계가 같은 비율로 작동한다. 8분 동안 담기는 물의 양을 구하라.” 학생은 먼저 시간 x와 물의 양 y를 정하고, 2분에 3L이므로 1분에는 3÷2L라고 적었다. 따라서 y=(3÷2)x로 관계를 세웠다.

x=8을 대입해 y=(3÷2)×8=12L를 구한 뒤, 8분을 2분씩 네 구간으로 나누면 3L씩 네 번이므로 12L라는 검산 근거를 스스로 덧붙였다. 마지막으로 처음 표의 풀이를 떠올려 각 대응값을 식에 넣어 같은 비가 유지되는지 확인했다.

이처럼 학익동중1수학과외에서는 표에 있는 숫자를 바로 계산하는 데 그치지 않고, 두 양의 대응값을 비교하고 일정한 비를 식으로 나타낸 다음 새로운 표현에서도 같은 관계를 다시 세우도록 풀이를 이어 갔다.