용현동 중3수학과외

용현동 중3수학과외, 기준각에서 다시 읽는 tan

용현동에서 중3수학과외를 진행하며 한 학생의 삼각비 풀이를 살펴보았습니다. 금호2차아파트와 금호아파트가 있는 생활권에서 접할 수 있는 용현여자중학교, 용현중학교가 포함된 지역에서도 자주 만나는 유형이지만, 이번 수업의 범위는 여러 삼각비를 넓게 다루는 것이 아니라 tan을 대변과 인접변의 비로 읽고, 표현이 달라져도 같은 관계로 바꾸는 것에 한정했습니다.

답보다 먼저 확인한 풀이 기록

문제에는 직각삼각형 ABC가 있고, ∠C=90°, ∠A=35°, BC=7, AC=x라고 주어졌습니다. ∠A를 기준으로 x의 길이를 구하는 문제였습니다. 학생은 그림에서 ∠A를 읽은 뒤 다음과 같이 적었습니다.

tan 35° = 인접변/대변 = x/7
tan 35° ≈ 0.70이므로 x=4.9

계산 자체는 일정하게 이어졌지만 답은 맞지 않았습니다. 채점 직후 학생은 다른 표현의 문제와 이 식을 나란히 놓았습니다. 하나는 “기준각에서 맞은편 변은 7, 옆 변은 x”라고 설명했고, 다른 하나는 “tan 35°를 두 변의 길이 비로 나타내라”고 되어 있었습니다. 학생은 표현이 달라지자 어느 변을 먼저 골라야 하는지 다시 헷갈렸습니다.

여기서 결과값 4.9를 곧바로 고치지 않고, 식을 세우기 직전의 선택을 되짚었습니다. 가장 먼저 어긋난 판단은 기준각을 중심으로 변의 역할을 정하기 전에 ‘인접변/대변’이라는 문구만 보고 변을 선택한 것이었습니다. tan에서 대변과 인접변은 삼각형 전체에서 고정된 이름이 아니라, 기준으로 삼은 각에 따라 정해집니다.

한 번의 표시로 관계를 바로잡기

교정은 한 행동만 바꾸었습니다. 식을 쓰기 전에 기준각 ∠A에 동그라미를 하고, 그 각에서 마주 보는 BC에는 ‘대’, 각 A와 직각이 아닌 변으로 붙어 있는 AC에는 ‘인’이라고 표시하게 했습니다. 그러자 학생은 이미 계산한 근삿값은 유지한 채 식만 다음처럼 고쳤습니다.

tan 35° = 대변/인접변 = BC/AC = 7/x
0.70 = 7/x
x = 10

이 과정에서 다른 공식이나 새로운 계산법을 덧붙이지 않았습니다. 바뀐 것은 기준각을 먼저 표시한 뒤 그 각에서 대변과 인접변을 고르는 순서뿐입니다. 또한 “대변/인접변”이라는 설명과 “7/x”라는 기호식이 같은 관계를 나타낸다는 점을 확인했습니다. tan 35°가 약 0.70인데 7보다 작은 x를 분모에 두면 비가 1보다 커지므로, 식의 방향도 수치와 어울리지 않는다는 점을 간단히 점검했습니다.

모양이 바뀐 문제에서 관계 전환하기

다음에는 이전 그림과 전혀 다른 형태를 사용했습니다. 칠판에 직각삼각형을 옆으로 돌려 그리고, 기준각을 왼쪽 아래가 아니라 오른쪽 위에 표시했습니다. 기준각을 θ, 그 각의 맞은편 변을 12, 그 각에 붙어 있으면서 빗변이 아닌 변을 y로 두었습니다. 질문은 “두 변의 길이로 tan θ를 나타내라”였습니다.

학생은 그림의 방향에 끌려가지 않고 기준각에서 선을 따라 확인했습니다. 먼저 θ와 마주 보는 변이 12이므로 대변, θ에 붙은 y가 인접변이라고 말한 뒤 다음과 같이 적었습니다.

tan θ = 12/y

이번에는 길이를 구하는 문제가 아니라 비를 나타내는 문제였으므로 y를 옮기거나 값을 계산하지 않았습니다. 이어서 표로 주어진 다른 상황도 살폈습니다. ‘기준각 θ, 대변 9, 인접변 4’라는 행을 읽고 tan θ=9/4라고 적었습니다. 그림의 위치, 질문의 방향, 문자 사용이 달라도 기준각에서 두 변의 역할을 정하면 같은 비로 전환할 수 있었습니다.

힌트 없이 남긴 마지막 설명

수업 후 새로 제시한 문제는 다음과 같았습니다. 직각삼각형 PQR에서 ∠Q=90°, ∠R=α, PQ=8, QR=15이다. α를 기준으로 tan α를 구하고, 그 비가 맞는지 원래 삼각형에 대입해 확인하라는 문제였습니다. 이번에는 기준각 표시나 변 이름에 대한 도움을 주지 않았습니다.

학생은 먼저 R에 표시를 하고 R에서 마주 보는 PQ를 대변, R에 붙은 QR을 인접변으로 설명했습니다.

tan α = PQ/QR = 8/15

검산에서는 구한 비 8/15를 다시 “대변의 길이 ÷ 인접변의 길이”에 대입했습니다. 실제 삼각형에서 대변은 8, 인접변은 15이므로 8/15가 그대로 나오며, 기준각을 Q로 바꾸지 않는 한 변의 역할도 변하지 않는다고 말했습니다. 힌트 없이도 표현보다 먼저 기준각을 선택하고, 그 각에서 대변과 인접변을 확인한 뒤 tan의 비를 세울 수 있었습니다. 이처럼 용현동과외 수업에서는 한 가지 식을 외우는 데 그치지 않고, 새로운 그림과 문장에서도 같은 기준을 스스로 재현하는지를 확인합니다.