명륜동 중3수학과외

명륜동 중3수학과외, 반복되는 식을 먼저 바꿔 읽기

명륜SK뷰 아파트와 명륜쌍용예가아파트가 있는 생활권에서 중3수학과외를 진행하다 보면, 복잡한 곱셈식의 계산보다 식을 어떻게 읽을지에서 오답이 시작되는 경우가 있습니다. 이번에는 동래중학교와 동해중학교가 포함된 생활권에서 다룬 한 풀이를 통해, 치환을 이용해 복잡한 곱셈식을 단순화하는 과정만 살펴보았습니다. 부산광역시립명장도서관 인근 생활권에서 문제를 접했더라도 같은 기준으로 식을 확인할 수 있습니다.

채점지에서 거꾸로 찾은 첫 번째 흔들림

문제는 다음 식을 간단히 하라는 것이었습니다.

(2x－3)(4x＋1)＋(2x－3)(x－6)

학생은 채점된 풀이를 뒤에서부터 읽으며 다음과 같이 적었습니다.

(2x－3)(4x＋1)＝8x²－4x－3
(2x－3)(x－6)＝2x²－15x＋18
따라서 10x²－19x＋15

두 번째 곱셈은 맞게 전개했지만 첫 번째 곱셈에서 (－3)×1을 ＋3으로 기록한 것이 가장 먼저 어긋난 판단이었습니다. 그 뒤의 항을 더하는 과정만 다시 계산해도 이 오류는 고쳐지지 않습니다. 최종 답이 틀렸다는 사실보다, 계수와 부호를 확인하지 않은 채 전개를 시작한 것이 핵심이었습니다.

긴 전개 대신 같은 부분을 하나의 문자로 보기

학생에게 전체 풀이를 지우게 하지 않고, 반복되는 부분만 표시하게 했습니다. 두 곱에 공통으로 들어 있는 식은 2x－3이므로 다음처럼 두었습니다.

t＝2x－3

그러면 원래 식은 다음과 같이 바뀝니다.

t(4x＋1)＋t(x－6)

이제 각 곱의 부호와 계수를 놓치지 않도록, t가 곱해지는 항을 먼저 줄마다 적었습니다.

• t×4x＝4xt
• t×1＝t
• t×x＝xt
• t×(－6)＝－6t

같은 문자를 포함한 항끼리만 정리하면 4xt＋xt＝5xt이고, t－6t＝－5t입니다. 따라서

5xt－5t＝t(5x－5)

마지막에 t＝2x－3을 되돌려 쓰면

(2x－3)(5x－5)

가 됩니다. 직접 전개하면 10x²－25x＋15이므로, 처음 학생의 결과와 다르다는 것도 확인할 수 있습니다. 여기서 교정한 행동은 여러 풀이법을 새로 익힌 것이 아니라, 반복되는 식을 치환한 뒤 각 항의 곱과 부호를 빠짐없이 적은 것 하나였습니다.

모양이 달라진 독립 문제

며칠 뒤에는 공통 인수가 앞에 보이지 않고, 괄호 안에 같은 식이 반복되는 문제를 제시했습니다.

3( y＋2)(2y－1)－5( y＋2)(y＋4)

이번에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 반복되는 식의 위치와 계수의 배치가 달랐습니다. 학생은 먼저

u＝y＋2

라고 정하고 식을

3u(2y－1)－5u(y＋4)

로 바꾸었습니다. 이후 항별로

• 3u×2y＝6yu
• 3u×(－1)＝－3u
• －5u×y＝－5yu
• －5u×4＝－20u

라고 적었습니다. 동류항을 정리하면 yu항은 yu이고, u항은 －23u이므로 u(y－23)입니다. 치환을 되돌리면

(y＋2)(y－23)

입니다. 학생은 이번에도 계산을 시작하기 전에 반복되는 식을 먼저 골랐고, 음수 계수와 곱해지는 항을 따로 확인했습니다.

힌트 없이 대입으로 확인한 마지막 장면

마지막에는 방법이나 치환할 문자를 알려 주지 않고 다음 식을 주었습니다.

(3a＋1)(2a－5)＋(3a＋1)(a＋7)

학생은 스스로 v＝3a＋1이라고 정한 뒤

v(2a－5)＋v(a＋7)＝2av－5v＋av＋7v＝3av＋2v＝v(3a＋2)

라고 설명했습니다. 이어 a＝2를 대입해 원래 식의 값과 정리한 식의 값을 각각 계산했습니다. 원래 식은 7×(－1)＋7×9＝56이고, 정리한 식도 7×8＝56이었습니다.

학생은 “같은 값을 넣었을 때 전개 전과 전개 후가 같으므로, 반복되는 식을 치환하고 항별 곱을 확인한 풀이가 맞다”고 말했습니다. 이처럼 명륜동중3수학과외에서는 답만 확인하지 않고, 새로운 식에서도 스스로 반복 부분을 선택하고 부호를 검산하는지까지 살펴봅니다.