명륜동 고3수학과외

정답에서 거꾸로 올라가 찾은 시그마의 첫 오독

명륜동 생활권에서 수능 수학을 준비하는 학생의 오답 기록에는 계산 과정이 길게 이어져 있었지만, 실제로 틀린 곳은 첫 줄에 가까웠다. 문제는 다음과 같았다.

수열의 첫째항부터 제n째항까지의 합이 ∑_k=1ⁿ(3k-2)일 때, 이 합이 100이 되는 자연수 n을 구하여라.

학생은 항을 직접 나열한 뒤 1+4+7+…로 계산했고, 마지막에는 3n-2를 마지막 항으로 잡아 등차수열의 합 공식을 적용했다. 식 자체는 맞았지만, 답이 자연수가 되지 않자 n을 반올림해 6이라고 적었다. 이 장면만 보면 계산 실수처럼 보이지만, 부산중앙여자고등학교 인근에서 진행한 풀이 점검에서는 정답 풀이의 마지막 줄부터 역으로 비교했다.

결론과 처음 어긋난 줄 사이

정답의 마지막 조건은 n(3n-1)/2=100이었다. 학생의 풀이도 이 식까지는 도달했으므로, 그 뒤의 근의 공식 계산을 먼저 의심하지 않았다. 정답에서 한 줄씩 거꾸로 내려오며 처음 달라진 표시를 찾자, 학생은 등차수열의 첫째항을 1로 쓴 뒤 공차 3과 항의 개수 n을 사용하면서도 마지막 항을 확인하지 않은 채 공식을 진행하고 있었다.

더 정확히 말하면 최초의 판단은 “시그마 안의 k가 마지막 항의 번호이므로 마지막 항은 3n-2”라고 단정한 것이었다. 이 문제에서는 그 판단이 맞았지만, 학생은 바로 앞에서 시그마의 시작첨자와 끝첨자를 읽지 않고 항을 나열해 버렸다. 그래서 다음 오답 문제에서 시작첨자가 2로 바뀌었을 때도 첫 항을 1로 처리했다. 계산 끝의 숫자가 아니라, 첨자 범위를 확인하지 않은 행동이 오류의 출발점이었다.

교정표에는 많은 내용을 적지 않았다. 첫 식을 쓰기 전에 “k=1부터 n까지”를 식 옆에 그대로 옮기고, 첫째항과 마지막항을 각각 따로 표시하게 했다. 이어서 ∑_k=1ⁿ(3k-2)를 n/2{2×1+(n-1)×3}으로 바꾸면서, 첫째항 1과 공차 3이 어디에서 나왔는지 한 문장으로 설명하게 했다. 이 두 행동만 남기고, 이미 맞게 계산한 뒤의 줄은 다시 고치지 않았다.

첨자와 규칙의 위치를 바꾼 문제

다음 날에는 숫자만 바꾸지 않고 문제의 제시 순서를 바꾸었다.

수열의 일반항이 a_k=4k+1이고, ∑_k=2^ma_k가 135일 때 자연수 m을 구하여라.

이번에는 일반항이 먼저 주어졌기 때문에 학생은 익숙한 첫째항 1을 무심코 쓰기 쉬웠다. 그러나 풀이 첫 줄에 “시작 첨자 2”를 적고 a₂=9, a_m=4m+1을 분리했다. 항의 개수도 m이 아니라 m-2+1=m-1임을 확인하여

∑_k=2^m(4k+1)=(m-1)(9+4m+1)/2=135

를 세웠다. 정리하면 (m-1)(2m+5)=270이고, 자연수 후보를 대입해 m=10을 얻는다. 실제로 9+13+17+…+41은 항이 9개인 등차수열이므로 합은 9×50/2=225가 되어 맞지 않는다. 따라서 위 식에서 135를 대입한 계산을 다시 확인해야 하며, 학생은 이 지점에서 후보를 원래 합에 재대입했다. m=8이면 항은 9부터 33까지 7개이고 합은 7×42/2=147이다. 두 후보 모두 맞지 않으므로 방정식을 다시 정리했고, (m-1)(2m+10)/2=135, 즉 (m-1)(m+5)=135에서 m=10을 얻는다. 검산하면 9부터 41까지 9개, 합 225이므로 역시 불일치한다. 이 변형은 135가 아니라 225여야 자연수 해가 생긴다는 점을 확인하는 과정이었다.

학생은 문제의 수치가 잘못될 가능성까지 따지기보다, 자신의 첫 식과 질문이 일치하는지부터 점검했다. 이처럼 시그마 문제에서는 정답 후보를 얻는 것보다 첨자 범위와 항의 개수를 원래 식에 되돌려 놓는 일이 우선이었다. 부산중앙여자고등학교 주변에서 고3수학과외를 받을 때도 이 기록을 활용해, 풀이의 어느 줄이 처음 바뀌었는지를 표시하는 연습만 이어 갔다.

표시 없이 다시 세운 풀이

며칠 뒤에는 교정표를 보지 않은 상태에서 다음 문제를 제시했다.

∑_r=3^p(2r-1)=160이고 p는 자연수일 때 p를 구하여라.

학생은 먼저 시작첨자 3을 적고, 첫째항을 5, 마지막항을 2p-1, 항의 개수를 p-2+1=p-2로 기록했다. 따라서

(p-2)(5+2p-1)/2=160, 즉 (p-2)(p+2)=160

이 된다. p=12를 후보로 잡은 뒤 5부터 23까지 11개 항의 합이 11×28/2=154임을 확인하고 후보를 버렸다. 계산을 다시 살핀 결과 160과 맞는 자연수 p는 없다는 결론을 내렸으며, 억지로 가장 가까운 값을 답으로 쓰지 않았다.

마지막으로 학생에게 “어떤 검산을 할지 정해 주지 않은” 새 문제를 풀게 했다. 학생은 시그마의 시작점과 끝점을 먼저 원식에 대입한 뒤, 항의 개수와 첫째항을 따로 확인하는 방법을 스스로 선택했다. 명륜동과외 수업에서 확인된 변화는 정답률보다 분명했다. 학생은 이제 틀린 줄을 찾을 때 계산의 끝이 아니라, 첨자와 첫 항을 처음 연결한 줄부터 거꾸로 추적했다.