청당동 중1수학과외

청당지구 생활권에서 이어진 삼각형 작도 점검

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첫 작도에서 어긋난 지점

문제는 “선분 AB를 그린 뒤, AB=5cm, AC=4cm, ∠A=60°일 때 삼각형 ABC를 작도하라”는 내용이었다. 학생은 종이에 AB를 5cm로 그리고, A에서 아무 방향으로 선을 뻗은 다음 그 위에 4cm를 표시했다. 이어서 B와 새 점을 연결하고 “두 변과 한 각이 주어졌으므로 작도 가능”이라고 적었다.

그런데 학생이 처음 놓친 판단은 주어진 각이 두 길이 사이의 끼인각인지 확인하지 않은 채 선의 방향을 먼저 정한 것이었다. AC는 A에서 시작해야 하고, ∠A는 AB와 AC가 만나는 각이어야 하는데, 학생은 AC의 끝점을 임의로 잡은 뒤 각을 나중에 맞추려 했다. 그래서 작도 결과에서 표시된 각이 A에 있지 않고, 대응 관계도 흐려졌다.

“길이 두 개가 보인다고 바로 연결하지 말고, 어느 점에서 두 조건이 함께 만나는지 먼저 표시하자.”

오답의 한 줄을 되짚어 고치다

학생은 작도 과정을 지우지 않고, AB와 AC가 모두 A에서 시작한다는 점에 동그라미를 쳤다. 그다음 A를 꼭짓점으로 하여 AB가 한 변이 되도록 60° 각을 그렸고, 그 각의 다른 변 위에 AC=4cm를 표시했다. 마지막으로 C와 B를 연결했다. 이때 불필요하게 다른 방향으로 선을 여러 개 그리지 않고, 주어진 두 길이와 끼인각에 필요한 선만 남겼다.

작도 뒤에는 A, B, C의 대응을 다시 읽었다. AB는 5cm, AC는 4cm, 두 변 사이의 각은 ∠A=60°라고 표에 적었다. 이어서 눈금으로 AB와 AC를 확인하고, 각도기로 A의 각을 확인했다. 단순히 모양이 삼각형처럼 보이는지 판단하지 않고, 주어진 조건이 각각 원래 위치에 들어갔는지 확인한 것이다.

그림을 돌리고 질문을 바꾸어 적용하기

다음 문제에서는 그림이 회전되어 있었고, “점 P를 꼭짓점으로 하여 PQ=4cm, PR=5cm, ∠QPR=60°인 삼각형을 작도한 뒤, 마지막에 연결해야 할 선분을 쓰라”고 했다. 숫자는 앞 문제와 같았지만 그림의 방향과 조건의 제시 순서가 달랐다.

학생은 먼저 문제의 문장에서 P를 찾아 빨간색으로 표시하고, P에서 뻗은 두 선분이 PQ와 PR이라는 점을 적었다. 이어서 “각의 꼭짓점 P에서 두 길이 조건이 시작된다”고 한 줄로 설명했다. PQ 방향에 4cm, PR 방향에 5cm를 각각 표시한 뒤 두 끝점을 연결하여 QR을 그렸다. 예전처럼 그림의 위아래 방향을 기준으로 점을 정하지 않고, 이름과 조건의 관계를 먼저 읽은 결과였다.

• P는 두 길이와 각이 만나는 꼭짓점이다.
• PQ와 PR의 길이는 서로 바꾸어 표시하지 않는다.
• 마지막에 연결하는 선분은 두 끝점 Q와 R을 잇는 QR이다.

학생은 완성한 그림을 돌려 보면서도 P가 각의 꼭짓점이고, PQ·PR이 주어진 두 변인지 다시 확인했다. 표현이 달라져도 대응하는 점과 변을 먼저 찾으면 같은 작도 조건으로 판단할 수 있다는 점을 풀이 문장에 남겼다.

힌트 없이 다시 세운 최종 풀이

수업 뒤 학생에게 새로운 그림과 “선분 XY=6cm, XZ=3cm, ∠YXZ=45°일 때 작도 순서를 쓰고, 주어진 조건을 만족하는지 설명하라”는 문제를 제시했다. 이번에는 도움 없이 X를 각의 꼭짓점으로 먼저 표시하고, XY를 6cm로 그렸다. X에서 45°를 만든 뒤 그 방향에 XZ=3cm를 표시하고 Y와 Z를 연결했다.

학생은 답안에 “∠YXZ의 꼭짓점이 X이므로 X에서 45°를 작도한다. XY와 XZ가 각각 6cm와 3cm가 되도록 표시한 뒤 YZ를 연결한다”라고 적었다. 검산에서는 자로 XY와 XZ를 확인하고 각도기로 ∠YXZ를 확인했다. 이어 “두 길이와 그 사이의 각이 모두 처음 조건과 일치하므로, 그림의 방향과 관계없이 같은 삼각형 작도 조건을 재현했다”고 설명했다. 이 과정은 청당동중1수학과외에서 삼각형 작도 조건을 실제 작도와 대응 관계 확인으로 연결한 사례다.