청당동 중2수학과외

밑각을 찾는 순간에 드러난 판단의 차이

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문제의 그림에는 두 변의 길이가 같다고 표시된 삼각형과 몇 개의 선이 함께 그려져 있었다. 학생은 먼저 같은 길이 표시를 동그라미로 둘러싼 뒤, 꼭짓점에서 내려온 선을 보고 “이 선은 각을 반으로 나누는 선”이라고 적었다. 이어 외심은 삼각형의 변에서 같은 거리에 있는 점이고 내심은 각에서 같은 거리에 있는 점이라고 써야 할 자리에, 예제에서 보았던 순서를 따라 외심과 내심의 정의를 서로 바꾸어 기록했다.

오답보다 앞선 한 줄을 추적하다

계산이나 각의 합을 적용한 뒤의 결과만 보면 단순한 정의 착오처럼 보였지만, 실제로 풀이가 어긋난 최초의 판단은 선의 역할을 확인하기 전에 외심과 내심을 이름으로 배치한 것이었다. 학생은 선이 어느 점을 지나고 어떤 조건을 만족하는지 읽지 않은 채, 그림의 모양과 예제의 배열만 기준으로 판단했다.

“그 선이 무엇을 나누는지 먼저 표시하고, 그다음에 외심인지 내심인지 결정해야 해.”

교정은 한 가지 기준으로 좁혔다. 학생은 선분의 수직이등분선이면 ‘변의 중점에서 직각으로 만나는 선’이라고, 각의 이등분선이면 ‘한 꼭짓점의 각을 두 개의 같은 각으로 나누는 선’이라고 그림 옆에 각각 한 줄씩 적었다. 그 뒤 문제의 선이 꼭짓점에서 출발하는지, 변과 직각으로 만나는지를 차례로 확인했다. 이미 표시했던 같은 변의 길이는 지우지 않고, 새로 확인한 선의 역할만 다시 붙였다.

두 변의 길이가 같은 이등변삼각형에서는 같은 길이의 두 변이 만나는 꼭짓점에서 밑변으로 선을 그어 두 삼각형을 비교할 수 있다. 학생은 두 작은 삼각형에서 공통으로 쓰이는 선과 서로 같은 변을 표시하고, 꼭짓점에서 나뉜 각이 같다는 조건을 사용해 밑변 양 끝의 각이 같아진다는 흐름을 말로 설명했다. 여기서 중요한 것은 외심이나 내심이라는 이름을 먼저 고르는 일이 아니라, 밑각을 만든 두 변과 주어진 같은 길이 조건을 정확히 읽는 것이었다.

같은 성질을 다른 모양으로 다시 묻다

다음 문제는 숫자로 각을 구하는 형식이 아니었다. 그림 대신 표에 ‘AB=AC’, ‘∠ABC’, ‘∠BCA’가 제시되고, 질문은 “어떤 두 각이 같은지 고르시오”로 바뀌었다. 학생은 이전처럼 외심과 내심을 찾으려 하지 않고, 먼저 같은 길이의 두 변이 A에서 만난다는 점을 적었다. 따라서 반대편에 놓인 ∠ABC와 ∠BCA가 밑각이며 서로 같다고 판단했다.

또 다른 문제에서는 “두 각이 같을 때 어떤 변의 길이가 같은가?”라고 질문 방향을 바꾸었다. 학생은 같은 각의 맞은편 변을 대응시켜 ∠B와 ∠C가 같으면 그 맞은편 변 AC와 AB가 같다고 적었다. 이번에는 성질을 바로 적용하는 대신, 이등변삼각형인지 조건을 판별한 뒤 밑각과 같은 변의 대응을 거꾸로 읽었다.

• 두 변이 같다는 표시를 먼저 찾는다.
• 같은 두 변이 만나는 점을 꼭짓점으로 정한다.
• 그 반대편 변의 양 끝 각을 밑각으로 표시한다.
• 선이 추가되었다면 수직이등분선인지 각의 이등분선인지 역할부터 확인한다.

힌트 없이 재현한 장면

한 주 뒤 새 그림에는 이등변삼각형과 함께 평행사변형 모양의 조건이 제시되어 있었다. 학생은 평행사변형이라는 외형만 보고 밑각 성질을 바로 쓰지 않았다. 먼저 “이 조건만으로 두 변의 길이가 같은가?”라고 스스로 묻고, 평행한 변의 관계만으로는 이등변삼각형의 밑각 성질을 적용할 수 없다고 설명했다. 이어 그림에 실제로 같은 변 표시가 있는지 확인한 뒤, 표시가 없으면 밑각이 같다고 결론 내리지 않았다.

마지막으로 별도의 도움 없이 새로운 삼각형에서 AB와 AC에 같은 표시를 하고, A를 꼭짓점으로 정한 다음 ∠B와 ∠C에 같은 표시를 했다. 학생은 “같은 두 변의 맞은편 각이 밑각이므로 서로 같다”고 풀이 이유를 말했고, 선이 추가된 부분은 수직이등분선인지 각의 이등분선인지 다시 대조했다. 두 밑각을 원래 그림의 위치에 대입해 표시가 서로 대응하는지도 검산했다. 이 장면에서 학생은 모양이나 예제 순서가 아니라 조건을 읽고 첫 판단을 세웠다. 이런 과정을 중심으로 청당동중2수학과외에서는 같은 성질을 식, 표, 그림, 질문 방향이 달라진 문제에도 이어서 적용하도록 확인한다.