우아동 고3수학과외

경우의 수를 세기 전에, 누가 들어올 수 있는지부터

우아동 생활권의 학습 상담에서 학생이 가져온 순열과 조합 오답은 답 자체보다 풀이의 출발점이 눈에 띄었다. 문제의 결론에 해당하는 숫자 4를 먼저 확인한 뒤, 그 숫자가 나오는 계산을 맞춰 보려 했다. 계산 결과는 우연히 정답과 같았지만, 조건을 읽는 순서가 불안정해 풀이가 길어졌다. 우아동과외 수업에서는 이 답을 맞혔는지보다, 첫 식에 어떤 조건이 들어갔는지를 먼저 확인했다.

자연스러운 숫자에 가려진 빠진 조건

문제는 다음과 같았다.

6명의 학생 A, B, C, D, E, F 중 3명을 뽑는다. A는 반드시 포함하고, B는 뽑지 않으며, C와 D 중 정확히 한 명을 뽑을 때 경우의 수를 구하여라.

학생은 먼저 A를 고정한 뒤 남은 5명에서 2명을 고르는 식으로 5C2=10을 적었다. 결과가 지나치게 크다는 느낌은 있었지만, 이후 풀이에서 B를 제외하고 C와 D를 조정하려다 식을 여러 번 고쳤다. 최초의 문제는 계산 실수가 아니었다. ‘A 포함’만 식에 반영하고, ‘B 제외’와 ‘C, D 중 정확히 한 명’이라는 제한을 후보 선별 단계에서 빠뜨린 것이 시작이었다.

결론이 먼저 제시된 역문제에서도 같은 흔들림이 나타났다. 해설에 4가 적혀 있자 학생은 여러 조합을 더해 답을 맞추려 했지만, 어떤 후보가 조건 때문에 사라졌는지는 설명하지 못했다. 경우의 수에서는 숫자를 맞히는 것보다 표본공간에서 허용되는 후보를 먼저 줄이는 일이 핵심이었다.

계산식을 고치기보다 후보를 먼저 좁히기

풀이를 전부 다시 쓰게 하지 않고, 첫 줄만 바꾸었다. 학생은 여집합이나 복잡한 공식 대신 조건을 다음처럼 따로 표시했다.

• A: 반드시 포함
• B: 선택 대상에서 제외
• C, D: 정확히 한 명

A를 이미 뽑았으므로 남은 한 자리와 두 자리를 채워야 한다. C를 고르면 D는 제외되고, 나머지 한 자리는 E 또는 F 중 하나다. 따라서 {A, C, E}, {A, C, F} 두 경우가 나온다. D를 고르는 경우도 같은 방식으로 {A, D, E}, {A, D, F} 두 경우다. 전체는 4가지다.

여기서 교정은 두 가지로 제한했다. 첫 계산 전에 제한조건을 한 줄로 복원하고, 각 후보를 셀 때 버린 이유를 짧게 적는 것이다. B가 들어간 후보는 ‘B 제외’, C와 D가 함께 들어간 후보는 ‘정확히 한 명 위반’이라고 표시했다. 경우의 수를 계산한 뒤 처음부터 재계산하지 않고, 위험했던 후보 선별만 다시 확인하자 풀이가 짧아졌다.

표현이 바뀌어도 표본공간과 조건을 분리하는가

다음에는 숫자를 단순히 바꾼 문제가 아니라, 선택과 배열이 함께 나오는 문제를 제시했다.

5명의 후보 P, Q, R, S, T 중 회장과 부회장을 한 명씩 정한다. Q는 반드시 임원으로 뽑히고, P는 회장이 될 수 없다. 회장과 부회장은 서로 다른 사람이다.

학생은 먼저 두 자리를 정하는 전체 경우를 5P2로 적은 뒤 조건을 나중에 빼려 했다. 이번에는 해설 없이 표본공간과 조건을 나누어 기록했다. Q가 회장인 경우 부회장은 P, R, S, T 중 4명이다. Q가 부회장인 경우 회장은 P가 될 수 없으므로 R, S, T 중 3명이다. 따라서 경우의 수는 4+3=7이다.

이 문제에서 Q가 반드시 포함된다는 조건은 선택 사건이고, P가 회장이 될 수 없다는 조건은 배열 위치에 대한 제한이다. 둘을 한꺼번에 5P2에 적용하지 않고, Q의 위치에 따라 표본공간을 두 갈래로 나누자 조건이 자연스럽게 유지되었다. 순열과 조합을 구분하는 것보다 먼저, 무엇을 뽑고 무엇을 배치하는지 분리한 셈이다.

유형명을 가린 마지막 점검

마지막 검증에서는 ‘순열’이나 ‘조합’이라는 단어를 지운 새 문항을 풀게 했다. 7개의 책 중 3권을 고른 뒤 그중 한 권을 첫 번째 자리에 놓는 문제였다. 특정 책 X가 반드시 포함되고 Y와 Z가 동시에 선택될 수 없다는 조건이 붙었다.

학생은 곧바로 계산하지 않고 먼저 “선택 단계에서 X를 넣고 YZ 동시 선택을 막은 뒤, 선택된 3권 중 첫 자리를 정한다”고 말했다. 이어 X가 포함된 선택 후보를 만들고, Y와 Z가 함께 있는 후보를 제거한 다음 각 후보에 대해 첫 자리를 정했다. 마지막에는 선택된 책 수가 3권인지, 첫 자리가 선택 목록 안에 있는지 원래 조건으로 역추적했다.

정답만 확인한 것이 아니라 첫 식의 근거와 후보를 버린 이유까지 남겼다. 처음에는 자연스러운 경우의 수를 먼저 계산했지만, 새로운 표현과 매개 조건 앞에서도 제한조건을 표본공간보다 먼저 표시했다는 점에서 판단의 변화가 확인되었다. 전주고3수학과외를 찾는 학습자라면 이처럼 계산 속도보다 ‘첫 줄에 어떤 조건을 적었는가’를 점검하는 방식이 조건 판독 훈련에 도움이 된다.