우아동 고1수학과외







우아동 고1수학과외에서 명제의 방향을 먼저 읽은 사례
신영통현대타운1단지 인근에서 진행한 수업에서 학생은 조건을 보자마자 이차식의 인수분해부터 시작했다. 문제는 “모든 실수 x에 대하여 x²-5x+6≤0이면 x≤a이다. 이 명제가 참이 되도록 하는 a의 범위를 구하여라”였다.
계산보다 먼저 확인해야 할 명제의 구조
학생은 x²-5x+6=(x-2)(x-3)을 계산한 뒤, x의 범위를 곧바로 2≤x≤3이라고 적고 a도 2와 3 사이의 값이라고 판단했다. 하지만 이 식은 조건을 만족하는 x의 범위를 나타낼 뿐, 결론 x≤a와 같은 의미는 아니다.
p이면 q라는 명제는 p의 해가 q의 해 안에 포함되는지를 판단해야 한다.
교정할 때는 식을 더 계산하지 않고 두 조건의 해를 수직선에 나란히 표시했다. 전제인 x²-5x+6≤0의 해는 2≤x≤3이고, 결론 x≤a의 해는 a를 경계로 왼쪽 전체다. 전제의 모든 값이 결론에 들어가려면 가장 큰 전제값 3도 x≤a를 만족해야 하므로 a≥3이어야 한다.
결론의 방향을 바꾼 조건에서 확인하기
이후 숫자만 바꾸지 않고 명제의 방향을 바꾸었다. 이번에는 “x≤a이면 x²-5x+6≤0이다”라고 제시했다. 학생은 앞의 결과를 그대로 적용하지 않고, x≤a에는 매우 작은 수까지 포함되지만 이차부등식의 해는 2≤x≤3에 한정된다는 점을 그래프로 확인했다. 따라서 어떤 실수 a를 택해도 이 명제는 참이 될 수 없다고 판단했다.
- 전제의 해: 2≤x≤3
- 결론의 해: x≤a
- 전제에서 결론으로 갈 때: a≥3
- 결론에서 전제로 방향을 바꿀 때: 모든 x≤a가 [2, 3]에 들어갈 수 없으므로 불가능
처음 보는 표현에서의 최종 점검
마지막에는 부등식 대신 “x가 구간 [2, 3]에 속하면 x≤a이다”라는 문장으로 제시했다. 학생은 계산 결과를 다시 외우지 않고, 구간의 오른쪽 끝점 3이 결론의 경계 안에 포함되는지만 확인했다. 그 결과 조건의 방향이 달라지면 해집합의 포함 관계도 달라진다는 근거를 스스로 설명하며 a≥3을 정확히 제시했다.